[论文解读] A simple construction of Grassmannian polylogarithms

A. B. Goncharov|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 28

一句话总结

本文提出了一种在复射影空间 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ 中 $2n$ 个点的通用构型模空间上，通过塔特重复积分（Tate iterated integrals）的对数 $1$-形式，对格拉斯曼流形 $n$-对数函数的简单显式构造。关键贡献在于给出了实现格拉斯曼流形 $n$-对数函数的塔特重复积分的闭合公式，其符号通过积分循环的交错和显式计算得出，并提出了关于双格拉斯曼流形 $n$-对数函数上循环的符号的猜想，该猜想基于格拉斯曼流形几何与李余代数上同调理论。

ABSTRACT

We give a simple explicit construction of the Grassmannian n-logarithm, which is a multivalued analytic function on the quotient of the Grassmannian of generic n-dimensional subspaces in 2n-dimensional coordinate complex vector space by the action of the 2n-dimensional coordinate torus. We study Tate iterated integrals, which are homotopy invariant integrals of 1-forms dlog(rational functions). We introduce the Hopf algebra of integrable symbols related to an algebraic variety, which controls the Tate iterated integrals We give a simple explicit formula for the Tate iterated integrals related to the Grassmannian polylogarithms.

研究动机与目标

• 在格拉斯曼流形 $G_n^n(\mathbb{C})$ 关于环面作用的商空间上，提供格拉斯曼流形 $n$-对数函数作为多值解析函数的简单显式构造。
• 通过闭 $1$-形式 $d\log f_i$ 的塔特重复积分定义格拉斯曼流形 $n$-对数函数，以阿蒙托（Aomoto）的 $n$-对数函数作为基本构建模块。
• 显式计算格拉斯曼流形 $n$-对数函数的符号，表示为单纯形上积分循环的交错和。
• 提出双格拉斯曼流形 $n$-对数函数上循环符号的通用公式，以格拉斯曼流形映射 $A_i$ 和 $B_j$ 表示，并满足上循环条件。
• 将重复积分与混合 Tate 模形式的变体联系起来，并将其提升为霍普夫代数 $\mathcal{H}_\bullet(X)$ 中的元素，其对角映射在常数变体的模下被简化。

提出的方法

• 将格拉斯曼流形 $n$-对数函数定义为在 $PG_n(\mathbb{C})$ 上闭 $1$-形式 $\Omega$ 的积分，该形式由阿蒙托 $(n-1)$-对数函数显式构造。
• 利用比较定理，将塔特重复积分表示为 $\mathbb{C}\mathbb{P}^{n-1}$ 中单纯形上积分循环 $\Delta$ 的乘积之和。
• 对循环张量积 $\Delta(l_1,\dots,l_n) \otimes \cdots \otimes \Delta(l_n,\dots,l_{2n-1})$ 应用交错和 $\mathrm{Alt}_{2n}$，以定义格拉斯曼流形 $n$-对数函数的符号。
• 通过涉及格拉斯曼流形映射的拉回 $A_i^*$ 和 $B_j^*$ 的猜想公式，推导双格拉斯曼流形 $n$-对数函数上循环的符号。
• 利用李余代数 $\mathbf{L}_\bullet(X)$ 及其上链复形，描述可积符号及其对角映射。
• 证明塔特重复积分的对角映射可在常数变体的理想模下通过积分循环的结构简单计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 格拉斯曼流形 $n$-对数函数如何作为模空间 $PG_n(\mathbb{C})$ 上的多值解析函数被显式构造？
• RQ2 实现格拉斯曼流形 $n$-对数函数的塔特重复积分的精确公式是什么？
• RQ3 格拉斯曼流形 $n$-对数函数的符号是什么？它与单纯形上积分循环有何关系？
• RQ4 是否存在双格拉斯曼流形 $n$-对数函数上循环符号的通用上循环公式，满足格拉斯曼流形上循环条件？
• RQ5 塔特重复积分的对角映射在常数变体模下行为如何？在此设定下能否被简单计算？

主要发现

• 格拉斯曼流形 $n$-对数函数被构造为闭 $1$-形式 $\Omega$ 的塔特重复积分，该形式通过阿蒙托 $(n-1)$-对数函数显式定义。
• 格拉斯曼流形 $n$-对数函数的符号由 $\mathrm{I}_n(l_1,\dots,l_{2n}) = \mathrm{Alt}_{2n}\bigl(\Delta(l_1,\dots,l_n) \otimes \cdots \otimes \Delta(l_n,\dots,l_{2n-1})\bigr)$ 给出，满足两个 $(2n+1)$-项关系。
• 重复积分被证明是 $G_n(\mathbb{C}) \times G_n(\mathbb{C})$ 在一般点处的可积模形式的周期，并在常数变体模下下降为 $G_n(\mathbb{C})$ 上的变体。
• 塔特重复积分的对角映射可在常数变体的理想模下通过积分循环的结构简单计算。
• 双格拉斯曼流形 $n$-对数函数上循环符号的猜想公式满足涉及格拉斯曼流形映射拉回 $A_i^*$ 和 $B_j^*$ 的上循环条件，且当 $p=q=n$ 时与格拉斯曼流形 $n$-对数函数符号一致。
• 对于 $n \leq 4$，此类上循环的存在性通过 [G] 和 [G3] 的结果得以确立，支持了对一般 $n$ 的猜想。