[论文解读] A structure-preserving algorithm for the fractional nonlinear Schrödinger equation based on the SAV approach

Yayun Fu, Wenjun Cai+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 14被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种针对空间分数阶非线性薛定谔方程的线性隐式、能量保持格式，结合标量辅助变量（SAV）方法与空间上的傅里叶伪谱法及时间方向的Crank-Nicolson时间离散化。该方法在离散意义上实现了精确的能量守恒，同时在每个时间步仅需求解解耦的、常系数方程，显著提高了全隐格式的计算效率。

ABSTRACT

The main objective of this paper is to present an efficient structure-preserving scheme, which is based on the idea of the scalar auxiliary variable approach, for solving the space fractional nonlinear Schrödinger equation. First, we reformulate the equation as a Hamiltonian system, and obtain a new equivalent system via introducing a scalar variable. Then, we construct a semi-discrete energy-preserving scheme by using the Fourier pseudo-spectral method to discretize the equivalent system in space direction. After that, applying the Crank-Nicolson method on the temporal direction gives a linear implicit scheme in the fully-discrete version. As expected, the proposed scheme can preserve the energy exactly and more efficient in the sense that only decoupled equations with constant coefficients need to be solved at each time step. Finally, numerical experiments are provided to demonstrate the effectiveness and conservation of the scheme.

研究动机与目标

• 开发一种针对空间分数阶非线性薛定谔方程的结构保持数值格式，实现能量的精确守恒。
• 通过构建线性隐式方法，克服传统全隐格式带来的高计算成本。
• 将标量辅助变量（SAV）方法拓展至分数阶微分方程，此前该方法尚未在此类方程中应用。
• 将SAV方法与傅里叶伪谱法结合，以实现高空间精度与计算效率。
• 通过大量数值实验，验证该格式在长时间尺度下的稳定性与守恒特性。

提出的方法

• 通过引入标量辅助变量，将分数阶NLS方程重新表述为哈密顿系统，以解耦非线性项。
• 采用傅里叶伪谱法对方程的半离散系统进行空间离散，利用FFT实现谱精度与高效计算。
• 在时间方向应用Crank-Nicolson格式，构建线性隐式全离散格式，避免在每个时间步进行非线性求解。
• 通过SAV方法构造，确保能量守恒的精确性，该方法将能量泛函重新表述为二次型形式。
• 利用所得具有常系数的线性系统，通过傅里叶空间中的对角化方法求解，从而提升计算效率。
• 实施周期性边界条件，并在不同势函数与分数阶阶数下对一维和二维问题进行格式验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 SAV方法能否成功拓展至分数阶微分方程，以构造能量守恒格式？
• RQ2 所提出的线性隐式格式是否能精确保持分数阶NLS方程的离散能量？
• RQ3 在二维情况下，分数阶阶数α如何影响孤子解的形状与衰减速率？
• RQ4 在不同空间与时间离散化条件下，该格式的收敛速率与长期守恒性能如何？
• RQ5 该格式在不同势函数（如谐振子势与光学晶格势）下的表现如何？

主要发现

• 所提出的FSAV格式在离散意义上精确保持能量，相对能量误差在足够细的网格下低于1e-13，验证了理论上的能量守恒。
• 该格式在空间方向实现谱收敛，一维问题在N=64时观测到的收敛阶数约为10.56，在N=128时最高达20.30，表明具有高空间精度。
• 时间方向的收敛阶数约为2.0，与Crank-Nicolson方法一致，L2误差从τ=0.1降至τ=0.001时显著减小，验证了二阶时间精度。
• 随着分数阶阶数α减小，波函数衰减更快，解的轮廓更陡峭，且当α→2时，解趋近于经典NLS方程情形。
• 该格式保持质量守恒至机器精度，所有测试配置下的相对质量误差均低于1e-14。
• 该方法计算高效，在每个时间步仅需求解解耦的线性常系数系统，避免了迭代非线性求解器。