[论文解读] A subexponential-time algorithm for the quantum separability problem

Fernando G. S. L. Brandão, Matthias Christandl+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对量子可分性弱成员问题的准多项式时间算法，利用半定规划搜索对称扩展，并借助对量子纠缠单配性的 de Finetti 型界改进。关键结果是在欧几里得范数或 LOCC 范数下，区分可分态与距离为 ε 的态的运行时间为 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|))，该结果在量子复杂性与平均场哈密顿量中具有应用。

ABSTRACT

We present a quasipolynomial-time algorithm for solving the weak membership problem for the convex set of separable, i.e. non-entangled, bipartite density matrices. The algorithm decides whether a density matrix is separable or whether it is eps-away from the set of the separable states in time exp(O(eps^-2 log |A| log |B|)), where |A| and |B| are the local dimensions, and the distance is measured with either the Euclidean norm, or with the so-called LOCC norm. The latter is an operationally motivated norm giving the optimal probability of distinguishing two bipartite quantum states, each shared by two parties, using any protocol formed by quantum local operations and classical communication (LOCC) between the parties. We also obtain improved algorithms for optimizing over the set of separable states and for computing the ground-state energy of mean-field Hamiltonians. The techniques we develop are also applied to quantum Merlin-Arthur games, where we show that multiple provers are not more powerful than a single prover when the verifier is restricted to LOCC protocols, or when the verification procedure is formed by a measurement of small Euclidean norm. This answers a question posed by Aaronson et al (Theory of Computing 5, 1, 2009) and provides two new characterizations of the complexity class QMA, a quantum analog of NP. Our algorithm uses semidefinite programming to search for a symmetric extension, as first proposed by Doherty, Parrilo and Spedialieri (Phys. Rev. A, 69, 022308, 2004). The bound on the runtime follows from an improved de Finetti-type bound quantifying the monogamy of quantum entanglement, proved in (arXiv:1010.1750). This result, in turn, follows from a new lower bound on the quantum conditional mutual information and the entanglement measure squashed entanglement.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于判断两体量子态是否可分，或与可分态集合的距离在 ε 以内。
• 改进对可分态优化及平均场哈密顿量基态能量计算的运行时间界。
• 解决在 LOCC 或小范数测量下，多个证明者在量子 Merlin-Arthur 游戏中的能力问题。
• 通过 LOCC 和小范数验证协议，建立量子复杂性类 QMA 的新刻画。

提出的方法

• 该算法使用半定规划搜索给定密度矩阵的对称扩展，该方法最初由 Doherty、Parrilo 和 Spedialieri 提出。
• 其依赖于一个改进的 de Finetti 型界，用于量化量子纠缠的单配性，该界基于对量子条件互信息的新下界推导而来。
• 运行时间受 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|)) 限制，其中 |A| 和 |B| 为局部维数，ε 为与可分态集合的距离。
• 距离通过欧几里得范数或 LOCC 范数度量，后者能捕捉通过局部操作与经典通信最优可区分的态。
• 分析基于 arXiv:1010.1750 的结果，该文献提供了对平方纠缠及其操作意义的强化界。
• 该方法被扩展以证明：当验证受限于 LOCC 或小范数测量时，多个证明者不会增加 QMA 的能力。

实验结果

研究问题

• RQ1 可分量子态的弱成员问题是否可在准多项式时间内求解，且对误差容限 ε 和局部维数的最优依赖关系为何？
• RQ2 通过半定规划实现的对称扩展是否相较于先前方法在量子可分性问题上带来运行时间的改进？
• RQ3 当验证者受限于 LOCC 协议或小范数测量时，多个量子证明者是否比单个证明者更强大？
• RQ4 能否通过更紧致的 de Finetti 型界量化纠缠的单配性，从而提升算法效率？
• RQ5 当验证受限于 LOCC 或小范数测量时，QMA 复杂性类会涌现出哪些新刻画？

主要发现

• 该算法在 exp(O(ε⁻² log |A| log |B|)) 时间内求解可分态的弱成员问题，相较于指数时间方法有显著改进。
• 该运行时间界对欧几里得范数和 LOCC 范数均成立，后者在态可区分性方面具有操作意义。
• 由对量子条件互信息的新下界推导出的改进 de Finetti 型界，是运行时间保证的基础。
• 该结果表明：当验证受限于 LOCC 或小范数测量时，多个证明者在量子 Merlin-Arthur 游戏中并不比单个证明者更强大。
• 该框架为 QMA 提供了新刻画，表明该类在 LOCC 或小范数验证协议下保持不变。
• 该方法可实现对可分态优化及平均场哈密顿量基态能量计算的改进算法。