[论文解读] QMA-hardness of Consistency of Local Density Matrices with Applications to Quantum Zero-Knowledge

Anne Broadbent, Alex B. Grilo|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2019

Cryptography and Data Security参考文献 82被引用 22

一句话总结

本文證明了長期以來的猜想：在 Karp 形式下，局部密度矩陣的一致性（CLDM）問題是 QMA-困難的，從而確立了量子複雜度理論中的基礎性結果。本文引入了 QMA 的局部可模擬證明，使首個適用於整個 QMA 的量子承諾-開啟零知識證明系統成為可能，並在秘密參數模型中實現了非互動式零知識協定，推動了量子零知識密碼學的發展。

ABSTRACT

We provide several advances to the understanding of the class of Quantum Merlin-Arthur proof systems (QMA), the quantum analogue of NP. Our central contribution is proving a longstanding conjecture that the Consistency of Local Density Matrices (CLDM) problem is QMA-hard under Karp reductions. The input of CLDM consists of local reduced density matrices on sets of at most k qubits, and the problem asks if there is an n-qubit global quantum state that is consistent with all of the k-qubit local density matrices. The containment of this problem in QMA and the QMA-hardness under Turing reductions were proved by Liu [APPROX-RANDOM 2006]. Liu also conjectured that CLDM is QMA-hard under Karp reductions, which is desirable for applications, and we finally prove this conjecture. We establish this result using the techniques of simulatable codes of Grilo, Slofstra, and Yuen [FOCS 2019], simplifying their proofs and tailoring them to the context of QMA. In order to develop applications of CLDM, we propose a framework that we call locally simulatable proofs for QMA: this provides QMA proofs that can be efficiently verified by probing only k qubits and, furthermore, the reduced density matrix of any k-qubit subsystem of an accepting witness can be computed in polynomial time, independently of the witness. Within this framework, we show advances in quantum zero-knowledge. We show the first commit-and-open computational zero-knowledge proof system for all of QMA, as a quantum analogue of a "sigma" protocol. We then define a Proof of Quantum Knowledge, which guarantees that a prover is effectively in possession of a quantum witness in an interactive proof, and show that our zero-knowledge proof system satisfies this definition. Finally, we show that our proof system can be used to establish that QMA has a quantum non-interactive zero-knowledge proof system in the secret parameter setting.

研究动机与目标

• 解決長期以來的猜想：局部密度矩陣的一致性（CLDM）問題在 Karp 形式下是 QMA-困難的。
• 建立 QMA 的局部可模擬證明框架，使得任何接受證明中 k-量子比特子系統的約化密度矩陣均可在多項式時間內計算。
• 構建首個適用於整個 QMA 的量子承諾-開啟計算零知識證明系統，類比於經典的 sigma 協定。
• 定義並證明所提出零知識協定的量子知識證明。
• 在秘密參數模型中建立 QMA 的非互動式零知識（NIZK）證明系統。

提出的方法

• 利用可模擬碼的技術，證明 CLDM 在 Karp 形式下的 QMA-困難性，簡化並調整 Grilo、Slofstra 和 Yuen（FOCS 2019）的結果。
• 引入局部可模擬證明的概念：QMA 證明中，任何接受證明的 k-量子比特約化密度矩陣均可在不掌握完整證明的情況下高效計算。
• 基於可模擬量子證明的一次性密碼保護，構建 QMA 的 Ξ-協定，透過隨機子集檢驗進行驗證。
• 使用量子誤差校正碼（QECC）與秘密共享技術，模擬歷史態並確保協定的正確性與零知識性質。
• 透過可信第三方生成並分發一次性密碼金鑰與隨機子集，將協定改為非互動形式。
• 透過證明模擬器的輸出與真實協定視圖的 trace 距離相近，建立統計零知識性質，並利用 trace 距離的次可加性與酉不變性。

实验结果

研究问题

• RQ1 局部密度矩陣的一致性（CLDM）問題是否如 Liu（2006）所猜想的那樣，在 Karp 形式下是 QMA-困難的？
• RQ2 能否為整個 QMA 建立經典 sigma 協定（承諾-開啟）的量子類比？
• RQ3 能否為量子零知識證明系統建立量子知識證明？
• RQ4 QMA 是否在秘密參數模型中允許非互動式零知識證明系統？
• RQ5 局部可模擬證明能否用於構建高效、零知識且正確的量子互動證明系統？

主要发现

• CLDM 問題被證明在 Karp 形式下為 QMA-困難，從而解決了一項長期猜想。
• 引入了新的局部可模擬證明框架，使任何接受證明中 k-量子比特子系統的約化密度矩陣均可高效計算。
• 構建了首個適用於整個 QMA 的量子承諾-開啟零知識證明系統，其完整性為 1 − negl(|x|)，音響性為 1 − (1−δ)/nk。
• 所提出的零知識協定滿足量子知識證明的定義，確保證明者必須擁有有效的量子證明。
• 在秘密參數模型中實現了 QMA 的非互動式零知識（QNIZK）協定，具有統計零知識性質，且音響性誤差被限制在 1 − (1−δ)/nk 以內。
• 該框架可延伸至 QAM，表明 QAM 同樣在秘密參數模型中具有 QNIZK 協定，並具有類似的音響性與零知識保障。