[论文解读] A survey of characteristic classes of singular spaces

Joerg Schuermann, Shoji Yokura|ArXiv.org|Nov 7, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 62被引用 11

一句话总结

本文综述了奇异代数空间的示性类，提出了一套统一的‘动机’框架，该框架推广了陈类、Todd类与L-类。该研究建立了函子性双不变理论，为拟代数几何对象定义了动机测度，并引入了介于椭圆函数与E-函数之间的‘弦理论’/‘弧’示性类，关键结果表明其对奇点解析的独立性可通过弱因子分解证明。

ABSTRACT

A theory of characteristic classes of vector bundles and smooth manifolds plays an important role in the theory of smooth manifolds. An investigation of reasonable notions of characteristic classes of singular spaces started since a systematic study of singular spaces such as singular algebraic varieties. We make a quick survey of characteristic classes of singular varieties, mainly focusing on the functorial aspects of some important ones such as the singular versions of the Chern class, the Todd class and the Thom--Hirzebruch's L-class. Then we explain our recent "motivic" characteristic classes, which in a sense unify these three different theories of characteristic classes. We also discuss bivariant versions of them and characteristic classes of proalgebraic varieties, which are related to the motivic measures/integrations. Finally we explain some recent work on "stringy" versions of these theories, together with some references for "equivariant" counterparts.

研究动机与目标

• 将奇异示性类（陈类、Todd类、L-类）统一到单一动机框架中。
• 为奇异代数簇发展示性类的双不变版本。
• 通过动机积分，将示性类扩展到拟代数几何对象。
• 引入介于椭圆上同调与E-函数之间的弦理论与弧示性类。
• 通过弱因子分解建立函子性与奇点解析下的不变性。

提出的方法

• 将动机示性类定义为从构造性层的格罗滕迪克群到同调群的自然变换。
• 利用弱因子分解定理，证明动机类对解析选择的独立性。
• 通过参数y中Hirzebruch型指标的极限构造弦理论与弧示性类。
• 应用双不变理论，将示性类推广到奇异空间之间的映射。
• 利用动机积分与E-多项式，为拟代数几何对象定义不变量。
• 令y = -1以恢复弦理论陈类，令y = 0以恢复Todd类与动机类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以函子性方式将奇异空间的陈类、Todd类与L-类统一？
• RQ2 奇异代数簇的示性类存在何种双不变推广？
• RQ3 弦理论与弧示性类如何与椭圆上同调及E-函数相关？
• RQ4 能否通过动机积分在拟代数几何对象上定义动机示性类？
• RQ5 动机类是否对奇异代数簇的解析选择具有独立性？

主要发现

• 动机示性类的构造将陈类、Todd类与L-类统一到单一函子性框架中。
• 弦理论Hirzebruch类在y = -1与y → 0处的极限分别介于椭圆类与弦理论E-函数之间。
• 弦理论Hirzebruch类在y → -1处的极限恢复了弦理论陈类，与已知定义一致。
• 动机类在y → 0处的极限给出π_*([O_M])与π_*(Td^*(TM) ∩ [M])，两者均与解析π无关。
• 弧示性类满足lim_{y→-1} T^{arc}_{y*}(X) = c^{arc}_*(X)，即对偶对(X, -D)的陈类。
• 由于弱因子分解定理，类π_*([O_M])与π_*(Td^*(TM) ∩ [M])与解析π的选择无关。