[论文解读] A generalized Verdier-type Riemann-Roch theorem for Chern-Schwartz-MacPherson classes

Joerg Schuermann|ArXiv.org|Feb 18, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 41

一句话总结

本文在正则嵌入和局部完全交态射的背景下，利用 Verdier 的专一化函子和构造性函数的性质，为 Chern-Schwartz-MacPherson 类建立了广义的 Verdier 型黎曼-罗赫公式。主要贡献是给出了光滑流形中局部完全交态的 Milnor-类的通用公式，推广了先前的结果，并在余维数为一时显著简化。

ABSTRACT

We give a general formula for the defect appearing in the Verdier-type Riemann-Roch formula for Chern-Schwartz-MacPherson classes in the case of a regular embedding. Our proof of this formula uses the constructible function version of Verdier's specialization functor, together with a specialization property of Chern-Schwartz-MacPherson classes and the corresponding Riemann-Roch theorem for smooth morphisms. As a very special case we get a formula for the Milnor-class of a local complete intersection in a smooth manifold, which in the case of a hypersurface gives back a result of Parusinski-Pragacz.

研究动机与目标

• 推导在正则嵌入和局部完全交态射情形下，Chern-Schwartz-MacPherson 类的 Verdier 型黎曼-罗赫定理中缺陷的通用公式。
• 统一并推广先前关于光滑流形中超曲面和局部完全交态的 Milnor-类的结果。
• 利用新公式建立 Milnor-类 在光滑拉回和正规推出下的函子性质。
• 基于构造性函数的方法，建立专一化函子及其与 Chern-Schwartz-MacPherson 类相互作用的框架。

提出的方法

• 使用层复形的构造性函数版本的 Verdier 专一化函子 $Sp_{X\setminus Y}$。
• 应用 Chern-Schwartz-MacPherson 类的专一化性质，将流形上的类与它的法锥上的类联系起来。
• 以光滑态射的黎曼-罗赫定理作为推导的基础工具。
• 通过变形到法丛的 Gysin 变换，为正则嵌入定义同调上的拉回。
• 应用自交公式和法丛的计算，将嵌入子流形上的陈类联系起来。
• 建立包含拉回和陈类作用的交换图，以推导广义公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则嵌入情形下，Chern-Schwartz-MacPherson 类的 Verdier 型黎曼-罗赫公式中的精确缺陷是什么？
• RQ2 如何用法丛和陈类统一表达光滑流形中局部完全交态的 Milnor-类？
• RQ3 在代数或复解析设定下，Milnor-类 在光滑拉回和正规推出下的行为如何？
• RQ4 在构造性函数框架下，专一化函子如何与 Chern-Schwartz-MacPherson 类相互作用？
• RQ5 Milnor-类 的公式能否在超曲面之外进一步简化和推广，特别是在余维数为一的情形？

主要发现

• 推导出光滑流形中局部完全交态的 Milnor-类 的通用公式，推广并统一了先前的结果。
• 在余维数为一的正则嵌入情形下，公式简化为 Parusiński-Pragacz 对超曲面公式的一个深远推广。
• Milnor-类 $M_0(X)$ 在沿正交图的光滑拉回下满足变换法则 $M_0(X') = c^*(T_f) \cap f^*M_0(X)$。
• 对于具有常欧拉示性数纤维的正规推出，Milnor-类 满足 $f_*M_0(X') = \chi \cdot M_0(X)$，推广了已知结果。
• 证明了 Milnor-类 公式与自交公式以及通过陈类作用的法丛行为相容。
• 所推导的公式具有函子性，在代数和复解析设定中统一适用，依赖于奇点的解析解和基变换性质。