[论文解读] Abelian right perpendicular subcategories in module categories

Leonid Positselski|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 12

一句话总结

本文证明：一个阿贝尔范畴可以被精确且完全忠实嵌入到一个模范畴中作为右正交子范畴，当且仅当它是局部可现的且具有一个投射生成元 —— 等价地，它是具有有界无穷 arity 的加法代数理论的模型范畴。关键贡献是通过集合上的可及单子对这类范畴进行刻画，其应用涵盖拓扑环上的 contra 模以及完全忠实的遗忘函子。

ABSTRACT

We show that an abelian category can be exactly, fully faithfully embedded into a module category as the right perpendicular subcategory to a set of modules or module morphisms if and only if it is a locally presentable abelian category with a projective generator, or in other words, the category of models of an additive algebraic theory of possibly infinite bounded arity. This includes the categories of contramodules over topological rings and other examples. Various versions of the definition of the right perpendicular subcategory are considered, all leading to the same class of abelian categories. We also discuss sufficient conditions under which the natural forgetful functors from the categories of contramodules to the related categories of modules are fully faithful.

研究动机与目标

• 刻画那些可以通过精确且完全忠实嵌入成为模范畴中右正交子范畴的阿贝尔范畴。
• 阐明此类嵌入存在的条件，特别是与投射生成元和局部可现性之间的关系。
• 统一各种右正交子范畴的定义，并证明它们在阿贝尔范畴中产生等价的类。
• 研究从 contra 模范畴到模范畴的遗忘函子在何种情况下是完全忠实的，尤其在拓扑环的背景下。
• 为理解 contra 模作为无穷 arity 加法理论的模型提供一个范畴论框架。

提出的方法

• 使用集合范畴上的可及单子来描述具有投射生成元的完备阿贝尔范畴。
• 将阿贝尔范畴刻画为具有有界 arity 的加法、可及单子上的模范畴。
• 应用正交子范畴理论，在特定情境下识别在核与余核下封闭的全子范畴。
• 通过多项式环和洛朗多项式环的构造，建立反例以建模 contra 她维余层，并展示非阿贝尔子范畴。
• 利用同调条件（如 Ext 和 Hom 群的消失）来定义并验证正交子范畴。
• 证明：由正交性条件定义的全子范畴是阿贝尔的，当且仅当它局部可现且具有投射生成元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，一个阿贝尔范畴通过精确且完全忠实的嵌入，与模范畴中的右正交子范畴等价？
• RQ2 在何种条件下，从拓扑环上的 contra 模范畴到相关模范畴的遗忘函子是完全忠实的？
• RQ3 在阿贝尔范畴的背景下，不同定义的右正交子范畴之间有何关系？
• RQ4 在模范畴的全子范畴满足何种条件时，它是阿贝尔的且在核与余核下封闭？
• RQ5 哪些特征刻画了作为具有有界无穷 arity 的加法代数理论模型的阿贝尔范畴？

主要发现

• 一个阿贝尔范畴与模范畴中的右正交子范畴等价，当且仅当它是局部可现的且具有投射生成元。
• 此类范畴恰好是具有有界无穷 arity 的加法代数理论的模型范畴，或等价地，是集合上可及的加法单子上的模范畴。
• 当拓扑环是完备且分离的，且零的邻域基由开右理想构成时，从拓扑环上 contra 模范畴到相关模范畴的遗忘函子是完全忠实的。
• 存在模范畴的全子范畴，它们在核与余核下封闭但不是阿贝尔的，这表明阿贝尔性并非自动成立。
• 射影直线上 contra 她维余层的范畴可以被建模为矩阵环模范畴中的右正交子范畴。
• 在某些正交子范畴中存在无余核的态射，表明即使在环境范畴中封闭，此类子范畴在内部也不一定对余核封闭。