[论文解读] Homological algebra of semimodules and semicontramodules: Semi-infinite homological algebra of associative algebraic structures

Leonid Positselski|Aug 27, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 41

一句话总结

本文为结合结合代数结构的半模与半反模构建了同调代数框架，引入了导出函子 SemiTor 与 SemiExt，以推广半无限同调与上同调。主要贡献在于，在底层余代数与半代数满足适当的平坦性与投影性条件时，建立了半模与半反模的奇异导出范畴之间的等价关系。

ABSTRACT

We develop the basic constructions of homological algebra in the (appropriately defined) unbounded derived categories of modules over algebras over coalgebras over noncommutative rings (which we call semialgebras over corings). We define double-sided derived functors SemiTor and SemiExt of the functors of semitensor product and semihomomorphisms, and construct an equivalence between the exotic derived categories of semimodules and semicontramodules. Certain (co)flatness and/or (co)projectivity conditions have to be imposed on the coring and semialgebra to make the module categories abelian (and the cotensor product associative). Besides, for a number of technical reasons we mostly have to assume that the basic ring has a finite homological dimension (no such assumptions about the coring and semialgebra are made). In the final sections we construct model category structures on the categories of complexes of semi(contra)modules, and develop relative nonhomogeneous Koszul duality theory for filtered semialgebras and quasi-differential corings. Our motivating examples come from the semi-infinite cohomology theory. Comparison with the semi-infinite (co)homology of Tate Lie algebras and graded associative algebras is established in appendices, and the semi-infinite homology of a locally compact topological group relative to an open profinite subgroup is defined. An application to the correspondence between complexes of representations of an infinite-dimensional Lie algebra on the complementary central charge levels ($c$ and $26-c$ for the Virasoro) is worked out.

研究动机与目标

• 为结合代数结构上的半模与半反模形式化同调代数框架。
• 定义并研究双侧导出函子 SemiTor 与 SemiExt，作为半无限同调与上同调的推广。
• 在余代数与半代数满足适当的（共）平坦性与（共）投影性条件时，建立半模与半反模奇异导出范畴之间的等价关系。
• 为滤子半代数与拟微分余代数发展相对非齐次 Koszul 对偶理论。
• 为塔特李代数、分次结合代数以及具有开紧致子群的局部紧致群的半无限上同调提供统一的代数基础。

提出的方法

• 将半代数定义为余代数上双模张量范畴中的环对象。
• 在半代数上的右半模与左半模之间引入半张量积与半同态函子。
• 将 SemiTor 与 SemiExt 导出函子构作为半张量函子与半同态函子的总左导出与总右导出。
• 在余代数与半代数满足平坦性与投影性假设时，通过导出等价性建立余模-反模对应关系。
• 在半模与半反模的复形范畴上构建模型范畴结构，以支持同伦代数方法。
• 将该框架应用于相对非齐次 Koszul 对偶，特别针对滤子半代数与拟微分余代数，应用于塔特李代数与群上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从统一的同调代数框架中系统地推导出半无限同调与上同调？
• RQ2 在何种条件下，余代数与半代数能保证半模与半反模范畴为阿贝尔范畴，且半张量积具有结合性？
• RQ3 半模与半反模的导出范畴之间的确切关系为何？在何种条件下可建立该等价关系？
• RQ4 如何代数地定义并计算局部紧致拓扑群相对于一个开紧致子群的半无限上同调？
• RQ5 所提出的非齐次 Koszul 对偶理论在何种意义上扩展了滤子代数与微分余代数的经典对偶理论？

主要发现

• 双侧导出函子 SemiTor 被提出作为半无限同调的结合代数类比，推广了 Arkhipov 与 Sevostyanov 的构造。
• 导出函子 SemiExt 提供了上同调对应，实现了结合代数设定下的半无限上同调。
• 当半代数作为余代数上的余模是内射时，建立了半模与半反模奇异导出范畴之间的等价关系。
• 在余代数与半代数满足（共）平坦性与（共）投影性条件时，证明了余模-反模对应为范畴等价。
• 在半模与半反模的复形范畴上构建了模型范畴结构，从而支持同伦方法。
• 该框架为局部紧致拓扑群相对于一个开紧致子群的半无限同调提供了定义，并与文献中的已知结果进行了比较。