[论文解读] Abelian varieties of prescribed order over finite fields

Raymond van Bommel, Edgar Costa+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文证明了对于任意素幂 $q$，当 $n$ 足够大时，每个足够大的正整数均可实现为在 $F_q$ 上的几何上简单、普通、主极化阿贝尔簇的 $F_q$-有理点数，其维数为 $n$。该结果通过有效界在 Hasse–Weil 区间内实现了整数的稠密实现，并将 Howe 和 Kedlaya 在 $F_2$ 上的先前工作推广至所有 $q$。关键贡献在于实现了渐近最优的可实现阶数区间，优于 DiPippo 和 Howe（1998）的经典界。

ABSTRACT

Given a prime power $q$ and $n \gg 1$, we prove that every integer in a large subinterval of the Hasse--Weil interval $[(\sqrt{q}-1)^{2n},(\sqrt{q}+1)^{2n}]$ is $#A(\mathbb{F}_q)$ for some geometrically simple ordinary principally polarized abelian variety $A$ of dimension $n$ over $\mathbb{F}_q$. As a consequence, we generalize a result of Howe and Kedlaya for $\mathbb{F}_2$ to show that for each prime power $q$, every sufficiently large positive integer is realizable, i.e., $#A(\mathbb{F}_q)$ for some abelian variety $A$ over $\mathbb{F}_q$. Our result also improves upon the best known constructions of sequences of simple abelian varieties with point counts towards the extremes of the Hasse--Weil interval. A separate argument determines, for fixed $n$, the largest subinterval of the Hasse--Weil interval consisting of realizable integers, asymptotically as $q o \infty$; this gives an asymptotically optimal improvement of a 1998 theorem of DiPippo and Howe. Our methods are effective: We prove that if $q \le 5$, then every positive integer is realizable, and for arbitrary $q$, every positive integer $\ge q^{3 \sqrt{q} \log q}$ is realizable.

研究动机与目标

• 确定 Hasse–Weil 区间内哪些整数可实现为 $F_q$ 上阿贝尔簇的 $\nF_q$-有理点数。
• 将 Howe 和 Kedlaya 的结果（即每个正整数在 $\nF_2$ 上均可实现）推广至所有素幂 $q$。
• 建立可实现整数的有效下界，改进了此前构造极端点数的阿贝尔簇的方法。
• 对于固定的维数 $n$，确定当 $q \to \infty$ 时，Hasse–Weil 区间中完全由可实现整数组成的最大子区间的大小，并实现渐近最优性。
• 将结果推广至具有指定 $p$-秩的阿贝尔簇，包括在同余条件下的非普通情形。

提出的方法

• 利用 Honda–Tate 理论将 Frobenius 自同态与点数联系起来，将问题转化为构造具有特定 Weil 数的阿贝尔簇。
• 应用势论方法和单位圆上的平衡测度分析 Weil 数及其相关阿贝尔簇的分布。
• 采用加权能量最小化和对数势控制与 $p$-进赋值及点数约束相关的平衡测度的支撑与行为。
• 利用函数 $\tau(x) = x + \sqrt{x^2 - 1}$ 将复平面上的区间映射到实直线，从而构造具有所需性质的 Weil 数。
• 应用势论结果（如 Stahl 和 Totik 的工作）中关于带外场的平衡测度，推导单位圆上测度的支撑与能量的界。
• 通过修改后的 Robin 常数和对数势建立有效界，证明所有满足 $\geq q^{3\sqrt{q}\log q}$ 的整数均可实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的素幂 $q$，Hasse–Weil 区间内哪些整数可实现为某个 $F_q$ 上阿贝尔簇 $A$ 的 $\#A(\nF_q)$？
• RQ2 每个足够大的正整数是否都可实现为某个 $F_q$ 上几何上简单、普通、主极化阿贝尔簇的 $\nF_q$-有理点数？
• RQ3 当 $q \to \infty$ 且 $n$ 固定时，Hasse–Weil 区间中完全由可实现整数组成的最大子区间是什么？
• RQ4 与 DiPippo 和 Howe（1998）的经典界相比，可实现点数集合如何？能否在渐近意义下改进该区间？
• RQ5 该结果能否推广至具有指定 $p$-秩的阿贝尔簇？此类实现所需的算术条件（如模 $p$ 同余）是什么？

主要发现

• 对于每个素幂 $q$，所有满足 $\geq q^{3\sqrt{q}\log q}$ 的正整数均可实现为某个 $F_q$ 上几何上简单、普通、主极化阿贝尔簇 $A$ 的 $\#A(\nF_q)$。
• 当 $q \leq 5$ 时，每个正整数均可实现为 $\#A(\nF_q)$，将 Howe 和 Kedlaya 的结果推广至所有 $q \leq 5$。
• 当 $n$ 足够大时，区间 $[(q - 2q^{1/2} + 3 - q^{-1})^n, (q + 2q^{1/2} - 1 - q^{-1})^n]$ 内的所有整数均可实现为某个 $n$-维阿贝尔簇 $A$ 在 $F_q$ 上的 $\#A(\nF_q)$。
• 可实现整数的区间包含 $[q^n, q^{n+1}]$（当 $n$ 足够大时），意味着每个足够大的正整数在 $F_q$ 上均可实现。
• 该方法在渐近意义下实现了最优性，即可实现区间的长度与 $q \to \infty$ 时固定 $n$ 的最佳理论界一致，优于 DiPippo 和 Howe（1998）。
• 该结果可推广至具有指定 $p$-秩 $r \in [0,n]$ 的阿贝尔簇，当 $r = 0$ 时需满足 $m \equiv 1 \pmod{p}$，以确保具有给定点数的此类阿贝尔簇存在。