[论文解读] Adaptive Sparse Polynomial Chaos Expansions via Leja Interpolation

Dimitrios Loukrezis, Herbert De Gersem|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 69被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的、自适应的、直接的方法，利用勒扎（Leja）序列作为插值节点，构建插值多项式混沌展开（PCE）。通过利用勒扎基牛顿多项式独特的度结构以及与正交多项式之间的一一映射关系，该方法实现了每个采样点对应一个PCE项的精确插值，从而在极少的模型评估次数下实现高精度的代理建模与不确定性量化。

ABSTRACT

This work suggests an interpolation-based stochastic collocation method for the non-intrusive and adaptive construction of sparse polynomial chaos expansions (PCEs). Unlike pseudo-spectral projection and regression-based stochastic collocation methods, the proposed approach results in PCEs featuring one polynomial term per collocation point. Moreover, the resulting PCEs are interpolating, i.e., they are exact on the interpolation nodes/collocation points. Once available, an interpolating PCE can be used as an inexpensive surrogate model, or be post-processed for the purposes of uncertainty quantification and sensitivity analysis. The main idea is conceptually simple and relies on the use of Leja sequence points as interpolation nodes. Using Newton-like, hierarchical basis polynomials defined upon Leja sequences, a sparse-grid interpolation can be derived, the basis polynomials of which are unique in terms of their multivariate degrees. A dimension-adaptive scheme can be employed for the construction of an anisotropic interpolation. Due to the degree uniqueness, a one-to-one transform to orthogonal polynomials of the exact same degrees is possible and shall result in an interpolating PCE. However, since each Leja node defines a unique Newton basis polynomial, an implicit one-to-one map between Leja nodes and orthogonal basis polynomials exists as well. Therefore, the in-between steps of hierarchical interpolation and basis transform can be discarded altogether, and the interpolating PCE can be computed directly. For directly computed, adaptive, anisotropic interpolating PCEs, the dimension-adaptive algorithm is modified accordingly. A series of numerical experiments verify the suggested approach in both low and moderately high-dimensional settings, as well as for various input distributions.

研究动机与目标

• 开发一种非侵入式、自适应的方法，以最少的模型评估次数构建稀疏多项式混沌展开（PCE）。
• 通过使用勒扎序列作为插值节点，克服传统基于插值的PCE方法在数值稳定性与效率方面的不足。
• 实现插值PCE的直接计算，无需中间的层次化插值或基变换步骤。
• 在计算成本极低的前提下，确保代理建模、不确定性量化（UQ）和敏感性分析（SA）的高精度。
• 证明所提方法在单位模型评估次数下的逼近精度优于伪谱投影（PSP）和最小二乘回归（LSR）方法。

提出的方法

• 使用勒扎序列作为单变量插值网格，以确保多变量插值中的数值稳定性和层次结构。
• 基于勒扎序列上定义的类似牛顿的基多项式，构建层次化、自适应的插值，确保每个基函数对应唯一的多变量次数。
• 建立勒扎节点索引与正交多项式次数之间的一一对应关系，实现插值PCE的直接计算，无需中间的基变换步骤。
• 采用维度自适应算法构建各向异性的插值PCE，将计算资源集中于影响显著的参数。
• 应用从勒扎节点到正交多项式的直接隐式映射，避免显式进行拉格朗日基到正交基的转换。
• 将所得的插值PCE用作代理模型，进行不确定性量化与敏感性分析，通过后处理计算矩和Sobol指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 勒扎序列能否实现稳定、自适应且稀疏的基于插值的PCE构造，且每个采样点对应一个PCE项？
• RQ2 通过勒扎节点直接计算插值PCE是否在精度与效率方面优于涉及基变换的间接方法？
• RQ3 所提自适应插值PCE在单位模型评估次数下的逼近精度，与PSP和LSR等成熟方法相比如何？
• RQ4 该方法在低维与中等高维问题中，对矩与敏感性指数估计的精度保持程度如何？
• RQ5 所提方法能否与自适应精炼策略有效结合，以在高维不确定性量化中实现更好的收敛性？

主要发现

• 所提方法实现了每个采样点对应一个多项式项，生成的插值PCE在插值节点处完全精确。
• 通过勒扎节点直接计算插值PCE，在矩与敏感性指数估计方面与间接基变换方法达到相当的精度。
• 通过直接方法构建的自适应插值PCE，其收敛行为与自适应层次化牛顿基插值方法相当。
• 在相同模型评估次数下，插值PCE在逼近精度方面优于伪谱投影（PSP）和最小二乘回归（LSR）方法。
• 该方法在各种输入分布与问题维度下均保持高精度，低维与中等高维测试案例已验证其有效性。
• 基于LAR方法构建的高阶各向异性PCE所计算的参考Sobol指数，可作为可靠基准，证实了所提方法的准确性。