[论文解读] An adaptive high-order piecewise polynomial based sparse grid collocation method with applications

Zhanjing Tao, Yan Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 25被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于嵌套插值点的自适应高阶分段多项式稀疏网格配置方法，用于高维问题。该方法引入了一个系统性框架，适用于任意阶不连续分段多项式空间，采用局部而非全局的模板，实现了高效的自适应加密和具有 O(d·DoF) 复杂度的快速变换，函数插值、积分及不确定性量化应用中均实现了最优收敛速率。

ABSTRACT

This paper constructs adaptive sparse grid collocation method onto arbitrary order piecewise polynomial space. The sparse grid method is a popular technique for high dimensional problems, and the associated collocation method has been well studied in the literature. The contribution of this work is the introduction of a systematic framework for collocation onto high-order piecewise polynomial space that is allowed to be discontinuous. We consider both Lagrange and Hermite interpolation methods on nested collocation points. Our construction includes a wide range of function space, including those used in sparse grid continuous finite element method. Error estimates are provided, and the numerical results in function interpolation, integration and some benchmark problems in uncertainty quantification are used to compare different collocation schemes.

研究动机与目标

• 开发一种针对任意阶不连续分段多项式空间的高阶分段多项式稀疏网格配置的系统性框架。
• 通过测量层级剩余量，在高维问题中实现自适应加密，尤其适用于具有局部结构或低光滑度的解。
• 构建用于高阶插值的局部非全局模板，保持紧凑性并避免全局依赖。
• 通过嵌套插值点确保计算效率，并与多分辨率分析（MRA）兼容。
• 在不确定性量化、函数插值和积分的基准问题上验证该方法，并提供理论误差估计。

提出的方法

• 该方法在一维空间中构建嵌套插值点，并利用插值型多分辨率分析（MRA）推导相应的多小波基函数。
• 应用 Smolyak 构造方法，将一维框架扩展至高维，实现网格结构的稀疏性。
• 在嵌套网格上采用局部高阶拉格朗日和埃尔米特插值，确保更高阶精度的实现，且模板不超出当前单元范围。
• 实施基于层级剩余量的自适应加密策略，根据局部误差指标动态调整网格分辨率。
• 引入点值与展开系数之间的快速变换，操作次数按 O(d·DoF) 缩放，实现高效计算。
• 该方法支持连续与不连续的分段多项式空间，包括稀疏网格有限元方法中使用的空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有局部模板的任意阶分段多项式空间构建一个系统性、自适应的稀疏网格配置方法？
• RQ2 所提出的方法在高维函数逼近、积分和不确定性量化中如何实现最优收敛速率？
• RQ3 使用嵌套的非全局模板对高阶配置格式的稳定性和精度有何影响？
• RQ4 基于层级剩余量的自适应加密如何提升具有局部特征或低正则性问题的计算效率？
• RQ5 在所提框架中，点值与系数之间快速变换的计算复杂度是多少？

主要发现

• 该方法在 L^p 和 H^1 范数下实现了最优收敛速率，误差界按 O(2^{-(N-d+2)(q+1)}) 缩放，适用于 W^{q+1,M,p} Sobolev 空间中的函数。
• H^1 范数的误差估计受 d^{3/2} · C^d · (2+2^{q+2})^d · 2^{d-1} · (1+2^{-(q+1)})^d · 2^{-q(N-d+1)} · |f|_{W^{q+1,M,2}(Ω)} 限制。
• 点值与系数之间快速变换的操作次数为 O(d·DoF)，相比朴素实现显著降低了计算成本。
• 该方法支持在嵌套网格上进行拉格朗日和埃尔米特插值，实现高阶精度的同时保持紧凑且局部的模板。
• 数值结果表明，与标准配置格式相比，该方法在函数插值、积分及基准不确定性量化问题中表现出更优性能。
• 该框架自然包含稀疏网格 FEM 中使用的连续有限元空间，同时支持不连续多项式逼近，具有更高的灵活性。