[论文解读] Adjacency matrices of random digraphs: singularity and anti-concentration

Alexander E. Litvak, Anna Lytova+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2015

Graph theory and applications参考文献 37被引用 43

一句话总结

该论文证明了在 $ n $ 个顶点上，均匀随机的 $ d $-正则有向图的邻接矩阵以至少 $ 1 - C\ln^3 d / \sqrt{d} $ 的概率可逆，其中 $ C \leq d \leq cn / \ln^2 n $，$ c, C $ 为绝对常数。其关键创新在于证明了随机有向图的一种新型 Littlewood–Offord 型反集中性质，该性质控制了顶点子集以特定模式连接到固定集合的概率，从而在无需 $ d \gg \ln^2 n $ 的条件下分析了稀疏随机矩阵的奇异性质。该结果在 $ d \to \infty $ 的情形下解决了稀疏矩阵领域长期存在的一个猜想。

ABSTRACT

Let ${\\mathcal D}_{n,d}$ be the set of all $d$-regular directed graphs on $n$ vertices. Let $G$ be a graph chosen uniformly at random from ${\\mathcal D}_{n,d}$ and $M$ be its adjacency matrix. We show that $M$ is invertible with probability at least $1-C\\ln^{3} d/\\sqrt{d}$ for $C\\leq d\\leq cn/\\ln^2 n$, where $c, C$ are positive absolute constants. To this end, we establish a few properties of $d$-regular directed graphs. One of them, a Littlewood-Offord type anti-concentration property, is of independent interest. Let $J$ be a subset of vertices of $G$ with $|J|\\approx n/d$. Let $\\delta_i$ be the indicator of the event that the vertex $i$ is connected to $J$ and define $\\delta = (\\delta_1, \\delta_2, ..., \\delta_n)\\in \\{0, 1\\}^n$. Then for every $v\\in\\{0,1\\}^n$ the probability that $\\delta=v$ is exponentially small. This property holds even if a part of the graph is "frozen".

研究动机与目标

• 解决关于随机 $ d $-正则有向图邻接矩阵奇异概率的猜想，尤其关注 $ d $ 随 $ n $ 缓慢增长的稀疏情形。
• 为随机 $ d $-正则有向图的邻域结构建立一种新的反集中性质，该性质在概率组合学中具有独立意义。
• 将奇异度界限的有效范围扩展至先前结果所要求的 $ d \gg \ln^2 n $ 之外，实现即使在 $ d $ 随 $ n $ 缓慢增长时也成立的界限。
• 发展精细技术——如“几乎常数零空间向量”的概念与一种新的洗牌论证法——以处理正则随机矩阵的组合与谱约束。
• 提供一个奇异概率的定量界，其衰减速度为 $ \mathcal{O}(\ln^3 d / \sqrt{d}) $，优于此前在稀疏情形下的结果。

提出的方法

• 引入“几乎常数”零空间向量的概念，并通过针对随机有向图邻域结构的新型反集中论证，证明此类向量可被消除。
• 证明一种 Littlewood–Offord 型反集中性质：对于随机 $ d $-正则有向图及大小约为 $ n/d $ 的子集 $ J $，表示每个顶点是否连接到 $ J $ 的向量 $ \delta = (\delta_1, \dots, \delta_n) $ 取任一固定值 $ v \in \{0,1\}^n $ 的概率呈指数级小。
• 使用“洗牌”技术重新配置图结构，同时保持关键性质，从而实现对行向量线性组合的尾部概率估计。
• 基于子式使用覆盖论证：若矩阵 $ M $ 的秩为 $ n-1 $，则其属于多个事件 $ \mathcal{E}^{i,j}_{n-2} \cap \mathcal{E}^{i,j}(q) \cap \mathcal{E} $ 的交集，从而可对对称对使用并集界。
• 通过缩放与截断论证控制核中向量的尾部，利用邻域指示向量 $ \delta $ 的反集中性质。
• 结合组合估计与核及子式秩的概率界，利用 $ \mathbb{P}(\delta = v) $ 指数级小的性质，控制奇异构型的概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ n \to \infty $ 时，均匀随机 $ d $-正则有向图的邻接矩阵奇异的概率是多少？
• RQ2 当 $ d $ 随 $ n $ 缓慢增长（如 $ d \to \infty $ 但 $ d \ll \ln^2 n $）时，稀疏随机 $ d $-正则有向图的奇异概率能否被远离 1 控制？
• RQ3 即使图的一部分被固定，随机 $ d $-正则有向图的邻域结构是否仍满足 Littlewood–Offord 型反集中性质？
• RQ4 能否在不依赖 $ d \gg \ln^2 n $ 的条件下控制奇异概率，如先前结果所要求的那样？
• RQ5 在行和列和受约束的正则随机矩阵背景下，如何控制“几乎常数零空间向量”的结构？

主要发现

• 均匀随机 $ d $-正则有向图的邻接矩阵以至少 $ 1 - C\ln^3 d / \sqrt{d} $ 的概率可逆，其中 $ C \leq d \leq cn / \ln^2 n $，$ c, C $ 为绝对常数。
• 论文建立了一种新的反集中性质：对于任意固定大小约为 $ n/d $ 的子集 $ J $，表示哪些顶点连接到 $ J $ 的向量 $ \delta $ 满足对任意 $ v \in \{0,1\}^n $，有 $ \mathbb{P}(\delta = v) $ 指数级小，即使图的一部分被冻结也成立。
• 奇异概率的界 $ \mathbb{P}(\text{奇异}) \leq C\ln^3 d / \sqrt{d} $ 在 $ d \to \infty $ 时成立，验证了 Vu 及其他学者在稀疏情形下的猜想。
• 该结果改进了此前 Cook 的工作，后者要求 $ d \geq \omega(\ln^2 n) $，而本文将有效范围扩展至 $ d \leq cn / \ln^2 n $。
• 作者引入了一种精细化的“洗牌”技术，并对几乎常数零空间向量进行了新分析，从而实现了对稀疏正则矩阵核结构的控制。
• 在重叠范围 $ \omega(\ln^2 n) \leq d \leq cn / \ln^2 n $ 内，该界比先前工作的 $ d^{-c} $ 更强，因为 $ \ln^3 d / \sqrt{d} $ 的衰减速率更快。