[论文解读] Affine Mirković-Vilonen polytopes

Pierre Baumann, Joel Kamnitzer+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 15

一句话总结

本文通过引入在平行于虚根 δ 的边上带有整数分拆的装饰多面体，将 Mirković-Vilonen (MV) 多面体构造从有限维可对称 Kac-Moody 代数推广到对称仿射 Kac-Moody 代数。作者证明这些装饰多面体由其法线扇和 2-面的条件唯一刻画，并通过基于完备预投射代数及其模类范畴中的倾斜理论的代数几何模型，建立了与 Lusztig 数据的联系。

ABSTRACT

Each integrable lowest weight representation of a symmetrizable Kac-Moody Lie algebra g has a crystal in the sense of Kashiwara, which describes its combinatorial properties. For a given g, there is a limit crystal, usually denoted by B(-\infty), which contains all the other crystals. When g is finite dimensional, a convex polytope, called the Mirković-Vilonen polytope, can be associated to each element in B(-\infty). This polytope sits in the dual space of a Cartan subalgebra of g, and its edges are parallel to the roots of g. In this paper, we generalize this construction to the case where g is a symmetric affine Kac-Moody algebra. The datum of the polytope must however be complemented by partitions attached to the edges parallel to the imaginary root δ. We prove that these decorated polytopes are characterized by conditions on their normal fans and on their 2-faces. In addition, we discuss how our polytopes provide an analog of the notion of Lusztig datum for affine Kac-Moody algebras. Our main tool is an algebro-geometric model for B(-\infty) constructed by Lusztig and by Kashiwara and Saito, based on representations of the completed preprojective algebra Λ of the same type as g. The underlying polytopes in our construction are described with the help of Buan, Iyama, Reiten and Scott's tilting theory for the category Λ-mod. The partitions we need come from studying the category of semistable Λ-modules of dimension-vector a multiple of δ.

研究动机与目标

• 将 Mirković-Vilonen 多面体构造从有限维推广至对称仿射 Kac-Moody 代数。
• 解决在仿射情形下缺乏直接几何或组合方法将多面体与 $ B(-iginfty) $ 的元素关联的问题。
• 定义一类新的装饰多面体，以编码 $ B(-iginfty) $ 的组合数据，包括 Lusztig 数据的类比。
• 通过其法线扇和 2-面几何，建立对这些装饰多面体的刻画。
• 通过完备预投射代数及其模类范畴中的倾斜理论，将构造与 $ B(-iginfty) $ 的代数几何模型联系起来。

提出的方法

• 在根格的对偶空间 $ ( ext{span}_{R} ext{I})^* $ 中构造仿射 MV 多面体，作为凸格多面体，其边平行于根。
• 在平行于虚根 $ oldsymbol{ ilde{}} $ 的边上引入分拆，以编码来自维度向量为 $ \delta $ 的倍数的半稳定 $ \Lambda $-模类的附加数据。
• 利用 Braverman、Finkelberg 和 Gaitsgory 的工作，基于仿射格拉斯曼流形中的 MV 周环，建立 $ B(-iginfty) $ 的代数几何模型。
• 应用 Buan、Iyama、Reiten 和 Scott 发展的 $ \Lambda\text{-mod} $ 类范畴的倾斜理论，以描述其底层多面体。
• 通过其法线扇（Weyl 扇的粗化）和 2-面（满足热带 Plücker 关系）的条件，刻画这些装饰多面体。
• 通过证明边长和分拆数据对应于量子群 $ U_q(\mathfrak{n}_+) $ 在 $ q \to 0 $ 时的 PBW 基的组合结构，将构造与 Lusztig 数据联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Mirković-Vilonen 多面体从有限维情形推广至对称仿射 Kac-Moody 代数？
• RQ2 在仿射情形下，标准 MV 多面体不足以重构 $ B(-iginfty) $，需要何种附加数据？
• RQ3 这些装饰多面体的法线扇和 2-面如何约束其结构与组合性质？
• RQ4 虚根 $ \delta $ 在多面体构造中起什么作用，其贡献如何通过分拆编码？
• RQ5 通过完备预投射代数 $ \Lambda $ 的代数几何模型与 $ B(-iginfty) $ 的关系，如何与新的装饰多面体构造相联系？

主要发现

• 仿射 MV 多面体是 $ (\mathbb{R}I)^* $ 中的凸格多面体，其边平行于实根和虚根，且在平行于 $ \delta $ 的边上带有整数分拆。
• 这些装饰多面体由其法线扇（Weyl 扇的粗化）和 2-面（满足热带 Plücker 关系）的条件唯一刻画。
• 在 $ \delta $-平行边上出现的分拆来自维度向量为 $ \delta $ 的倍数的半稳定 $ \Lambda $-模类，与模类范畴中“管”的结构相关。
• 该构造为仿射 Kac-Moody 代数提供了 Lusztig 数据的组合类比，其中边长和分拆数据编码了量子群在 $ q \to 0 $ 时 PBW 基的相同信息。
• 该模型与通过仿射格拉斯曼流形中 MV 周环实现的 $ B(-iginfty) $ 的代数几何实现相容，且多面体是这些周环在时刻映射下的像。
• 在 $ \widetilde{A} $ 型中，该构造恢复了与 $ \widehat{\mathfrak{sl}_2} $ 中先前工作通过 PBW 基获得的相同多面体，确认了与已有结果的一致性。