[论文解读] Localization of modules for a semisimple Lie algebra in prime characteristic

Roman Bezrukavnikov, Ivan Mirković+1 more|ArXiv.org|May 14, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 132

一句话总结

本文计算了在素特征 $p$ 下，$τ(\mathfrak{sl}(3))$ 的小量子群的不可约模与投影模所对应的 Springer 展覆的凝聚层。利用凝聚层与小量子群模的导出等价关系 $\Upsilon$，通过 Frobenius 拉回与上同调计算，确定了不可约模 $L((p-2)\rho)$ 对应于两个扭曲结构层之间非平凡态射的锥，而投影覆盖则在 $\widetilde{\mathcal{N}}$ 上实现为线丛或扩张。主要贡献在于对 $\mathfrak{sl}(3)$ 情况下这些层的完整显式分类。

ABSTRACT

We observe that on the level of derived categories, representations of the Lie algebra of a semisimple algebraic group over a field of characteristic $p> h$ (where $h$ is the Coxeter number), with a given (generalized) central character are the same as the coherent sheaves on (generalized) Springer fibers. The first step is to observe that the derived functor of global sections provides an equivalence between the derived category of $D$-modules (with no divided powers) on the flag variety and the appropriate derived category of modules over the corresponding Lie algebra. Thus the ``derived'' version of the Beilinson-Bernstein localization Theorem holds in sufficiently large positive characteristic. Next, the algebra of (``crystalline'') differential operators is an Azumaya algebra and its splittings on Springer fibers allow us to pass from D-modules to coherent sheaves. As an application we compute the rank of the Grothendieck group of the category of modules over the Lie algebra with a fixed central character.

研究动机与目标

• 在导出等价关系 $\Upsilon$ 下，显式计算 $\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)}$ 上对应于不可约 $U_{\hat{0}}^{0}$-模的凝聚层。
• 在 $\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)}$ 上，以凝聚层形式确定这些不可约模的投影覆盖。
• 通过检查 Ext-群并为 $\mathfrak{sl}(3)$ 情况下的所有不可约与投影模构造层论模型，验证 $\Upsilon$-等价性。
• 确立对应于 $L((p-2)\rho)$ 的层是 $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ 与 $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)[3]$ 之间非平凡态射的锥。
• 证明投影覆盖在 $\widetilde{\mathcal{N}}$ 上可实现为向量丛或扩张，包括 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ 作为 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}$ 与 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ 的非平凡扩张。

提出的方法

• 作者使用导出等价关系 $\Upsilon: \mathcal{D}^b(\mathrm{Coh}_{\mathcal{B}^{(1)}}(\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)})) \to \mathcal{D}^b(U_{\hat{0}}^{0}\text{-}{\rm Mod}^{fg})$，并设定归一化使得 $\Upsilon(i_*\mathcal{F}) = R\Gamma(\mathcal{B}, {\rm Fr}_{\mathcal{B}}^*\mathcal{F})$。
• 利用 Borel-Weil-Bott 定理与 $\mathrm{S}(\mathcal{T}_{\mathcal{B}})$ 上 $\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$ 的 Koszul 分解，计算 $\mathcal{B}$ 上扭曲层的上同调。
• 对于不可约模，利用正合列 $0 \to \Omega^1_{\mathbb{P}^2} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \to 0$ 计算 Frobenius 拉回的 $R\Gamma$。
• 将 $L((p-2)\rho)$ 识别为 Weyl 模 $[H^0((p-2)\rho)]^*$ 的商模，并利用 Serre 对偶性证明 $\Upsilon(i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)[-3]) = [H^0((p-2)\rho)]^*[-3]$，从而导出锥构造。
• 对于投影覆盖，通过在 $\widetilde{\mathcal{N}}$ 上构造向量丛或扩张（如 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ 作为 $H^1(\mathcal{T}_{\mathcal{B}}(-\rho))$ 中的非平凡扩张）实现，并利用谱序列与上同调计算验证 Ext-群的消失性。
• 通过导出范畴结构与 $\Upsilon$-等价性，验证投影覆盖与不可约模之间的 Ext-群仅在正确度数上为一维。

实验结果

研究问题

• RQ1 在素特征下，$\mathfrak{sl}(3)$ 的小量子群 $U_{\hat{0}}^{0}$-不可约模对应于 $\widetilde{\mathcal{N}}^{(1)}$ 上的哪些凝聚层？
• RQ2 在 $\Upsilon$-等价关系下，这些不可约模的投影覆盖如何以凝聚层形式实现？
• RQ3 不可约模 $L((p-2)\rho)$ 的几何实现是什么？它如何作为两个扭曲结构层之间态射的锥出现？
• RQ4 如何使用层论方法显式计算投影覆盖与不可约模之间的 Ext-群？
• RQ5 $H^1(\mathcal{T}_{\mathcal{B}}(-\rho))$ 在构造平凡模的投影覆盖中起什么作用？

主要发现

• 不可约模 $L(0) = \Bbbk$ 对应于 $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}$，而 $L((p-3)\omega_j)$（$j=1,2$）对应于 $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\omega_j)[2]$，通过 $R\Gamma(\mathcal{B}, \mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-p\omega_j))$ 计算得出。
• 模 $L((p-2)\omega_1 + \omega_2)$ 对应于 $i_*\pi_1^*\Omega^1_{\mathbb{P}^2}(1)[1]$，其来源于 $\mathbb{P}^2$ 上正合列的 Koszul 分解的上同调。
• 不可约模 $L((p-2)\rho)$ 被实现为唯一非零态射 $i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}} \to i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)[3]$ 的锥，且满足 $\dim \mathrm{Ext}^3(i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}, i_*\mathcal{O}_{\mathcal{B}}(-\rho)) = 1$。
• 模 $L(0)$ 的投影覆盖为 $\mathcal{P} = \mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$，是 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}$ 与 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\rho)$ 的非平凡扩张，来源于 $H^1(\mathcal{T}_{\mathcal{B}}(-\rho)) \cong \Bbbk$。
• $L((p-2)\omega_1 + \omega_2)$ 的投影覆盖为 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\omega_1)$，而 $L(\omega_1 + (p-2)\omega_2)$ 的投影覆盖为 $\mathcal{O}_{\widetilde{\mathcal{N}}}(\omega_2)$，二者均在 $\widetilde{\mathcal{N}}$ 上实现为线丛。
• $L((p-3)\omega_1)$ 与 $L((p-3)\omega_2)$ 的投影覆盖分别为 $p^*((\pi_2^*\Omega^1_{\mathbb{P}^2})(\omega_1 + 2\omega_2))$ 与 $p^*((\pi_1^*\Omega^1_{\mathbb{P}^2})(2\omega_1 + \omega_2))$，分别通过投影 $p: \widetilde{\mathcal{N}} \to \mathcal{B}$ 从 $\mathcal{B}$ 拉回得到。