[论文解读] Algebraic characterisations of negatively-curved special groups and applications to graph braid groups

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文引入一种组合形式化方法来研究几乎特殊群，实现了对双曲性、无中心双曲性以及相对双曲性的代数刻画。证明了：一个几乎特殊群是双曲的当且仅当它不包含 $\mathbb{Z}^2$；是无中心双曲的当且仅当它不几乎分裂为两个无限群的直积；是相对双曲的当且仅当它存在一个包含所有非循环阿贝尔子群的极大固置子群的集合。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a combinatorial formalism to study (virtually) special groups, introduced by Haglund and Wise. As a first application, we recover a result due to Caprace and Haglund: if the universal cover of a compact special cube complex X contains an $n$-dimensional flat, then $\pi_1(X)$ contains a subgroup isomorphic to $\mathbb{Z}^n$. This implies that a virtually special group is hyperbolic if and only if it does not contain $\mathbb{Z}^2$. As a second application, we characterise algebraically the acylindrical hyperbolicity of virtually special groups. More precisely, a virtually special group (which is not virtually cyclic) turns out to be acylindrically hyperbolic if and only if it does not virtually split as a direct product of two infinite groups if and only if it contains an infinite-order element whose centraliser is virtually cyclic. Finally, we prove that a special group is relatively hyperbolic if and only if it contains a finite collection of proper subgroups which is malnormal and such that any non cyclic abelian subgroup is included into a conjugate of some subgroup of this collection. As a consequence, it follows that a special group is hyperbolic relatively to abelian subgroups if and only if it does not contain $\mathbb{F}_2 imes \mathbb{Z}$. In the second part of this paper, applications of our formalism to graph braid groups are given.

研究动机与目标

• 开发一种用于研究几乎特殊群的组合形式化方法。
• 恢复并强化关于特殊立方复形中平坦子空间的拓扑结果。
• 为几乎特殊群中的无中心双曲性和相对双曲性提供代数判别准则。
• 将该形式化方法应用于图辫群，建立新的结构性结果。

提出的方法

• 引入一种组合形式化方法，以编码几乎特殊群的结构。
• 利用该形式化方法，通过其万有覆叠中的平坦子空间来刻画 $\mathbb{Z}^n$ 子群的存在性。
• 将该形式化方法应用于推导基于中心化子和分裂性质的无中心双曲性的代数条件。
• 通过包含非循环阿贝尔子群的极大固置子群集合，建立相对双曲性的判别准则。
• 将该框架应用于图辫群，基于子群包含关系和双曲性推导出结构性约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个几乎特殊群何时包含 $\mathbb{Z}^2$ 子群，这对它的双曲性有何含义？
• RQ2 什么代数条件刻画了几乎特殊群中的无中心双曲性？
• RQ3 一个几乎特殊群在何种情况下关于阿贝尔子群是相对双曲的？
• RQ4 该组合形式化方法如何用于刻画图辫群中的双曲性和相对双曲性？
• RQ5 极大固置子群集合与几乎特殊群的结构之间存在何种关系？

主要发现

• 一个几乎特殊群是双曲的当且仅当它不包含 $\mathbb{Z}^2$ 子群。
• 一个几乎特殊群（非几乎循环）是无中心双曲的当且仅当它不几乎分裂为两个无限群的直积。
• 一个几乎特殊群是无中心双曲的当且仅当它包含一个无限阶元素，其中心化子是几乎循环的。
• 一个特殊群是相对双曲的当且仅当它存在一个有限的极大固置子群集合，使得每个非循环阿贝尔子群都包含于其中一个子群的共轭中。
• 一个特殊群关于阿贝尔子群是双曲的当且仅当它不包含同构于 $\mathbb{F}_2 \rtimes \mathbb{Z}$ 的子群。