[论文解读] Coning-off CAT(0) cube complexes

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 17

一句话总结

本文引入了一种针对组合凸子复形的CAT(0)立方复形的锥化构造，以研究其双曲性。研究证明，通过锥化消除均匀厚实的平坦矩形可得到双曲空间，从而为右角Coxeter群的相对双曲性提供了新证明，并为自由积的$C^'(1/4)$-$T(4)$小规模取消商群建立了非平庸双曲性。

ABSTRACT

In this paper, we study the geometry of cone-offs of CAT(0) cube complexes over a family of combinatorially convex subcomplexes, with an emphasis on their Gromov-hyperbolicity. A first application gives a direct cubical proof of the characterization of the (strong) relative hyperbolicity of right-angled Coxeter groups, which is a particular case of a result due to Behrstock, Caprace and Hagen. A second application gives the acylindrical hyperbolicity of $C'(1/4)-T(4)$ small cancellation quotients of free products.

研究动机与目标

• 通过分析平坦矩形和超平面网格，刻画CAT(0)立方复形何时为双曲的条件。
• 发展一种锥化方法，通过消除厚实平坦矩形，将非双曲的立方复形转化为双曲空间。
• 利用立方技巧重新证明并改进右角Coxeter群的相对双曲性。
• 通过锥化与双曲性准则，建立自由积的$C^'(1/4)$-$T(4)$小规模取消商群的非平庸双曲性。
• 将弱非平庸作用推广至高维立方复形，改进了双曲情形下的先前结果。

提出的方法

• 定义两种锥化方式：一种是通过在子复形上添加边实现，另一种是为每个子复形添加新顶点的标准锥化。
• 引入$L$-细和平坦矩形的$L$-厚概念，并将其统一细度与复形的整体双曲性联系起来。
• 基于局部有限性及子复形与超平面交集的有界性，建立标准锥化为精细的准则。
• 利用锥化构造证明：当锥化中厚实平坦矩形被统一有界时，可实现双曲性。
• 将双曲性准则应用于接触图和超平面稳定子，推导出弱相对双曲性结果。
• 利用有限维立方复形中弱非平庸作用与非平庸作用的等价性，证明商群的非平庸双曲性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下CAT(0)立方复形是双曲的？平坦矩形与超平面网格如何与之关联？
• RQ2 在组合凸子复形上进行锥化构造是否能产生双曲空间？何种条件可确保这一点？
• RQ3 锥化方法如何用于重新证明右角Coxeter群的强相对双曲性？
• RQ4 自由积的小规模取消商群在何种条件下确保非平庸双曲性？
• RQ5 弱非平庸作用能否推广至高维CAT(0)立方复形？其与非平庸双曲性有何关联？

主要发现

• 当且仅当其平坦矩形统一细薄（或等价地，其超平面网格统一细薄）时，CAT(0)立方复形为双曲。
• 在组合凸子复形族上进行锥化时，若锥化中厚实平坦矩形被统一有界，则该锥化复形为双曲。
• 在非$n$-组合收缩超平面上进行锥化，可得到双曲图，改进了Hagen关于弱相对双曲性的结果。
• 对于右角Coxeter群，其关于非收缩超平面稳定子为弱双曲，且该结论可推广至特定子群族，如$C( ilde{ ho}_1 ilde{ ho}_2)$或$ ext{star}(u)$（当$u$为诱导正方形中的顶点时）。
• 当且仅当子复形局部有限且超平面交集统一有界时，均匀局部有限的CAT(0)立方复形的标准锥化为精细。
• 对于自由积的$C^'(1/4)$-$T(4)$小规模取消商群，若自由积长度统一有界，则商群具有非平庸普遍作用；当示例$K_{k,I}$中$k \geq 5$时，此类群为非平庸双曲。