[论文解读] Algebraic models of homotopy types and the homotopy hypothesis

Simon Henry|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文引入了柱体共化器——一种代数结构，可生成弱 ∞-群胚的组合半模型范畴，该范畴与经典拓扑空间的模型范畴 Quillen 等价。本文通过证明此类共化器（包括基于内涵类型理论的共化器）可产生与空间同伦等价的代数模型，从而为同伦假设建立了新框架。

ABSTRACT

We introduce and study a notion of cylinder coherator similar to the notion of Grothendieck coherator which define more flexible notion of weak infinity groupoids. We show that each such cylinder coherator produces a combinatorial semi-model category of weak infinity groupoids, whose objects are all fibrant and which is in a precise sense "freely generated by an object". We show that all those semi model categories are Quillen equivalent together and Quillen to the model category of spaces. A general procedure is given to produce such coherator, and several explicit examples are presented: one which is simplicial in nature and allows the comparison to the model category for spaces. A second example can be describe as the category of globular sets endowed with "all the operations that can be defined within a weak type theory". This second notion seem to provide a definition of weak infinity groupoids which can be defined internally within type theory and which is classically equivalent to homotopy types. Finally, the category of Grothendieck infinity groupoids for a fixed Grothendieck coherator would be an example of this formalism under a seemingly simple conjecture whose validity is shown to imply Grothendieck homotopy hypothesis. This conjecture seem to sum up what needs to be proved at a technical level to ensure that the theory of Grothendieck weak infinity groupoid is well behaved.

研究动机与目标

• 开发一种基于柱体共化器的灵活代数框架，用于弱 ∞-群胚。
• 证明所有此类柱体共化器均生成与拓扑空间范畴 Quillen 等价的半模型范畴。
• 证明弱 ∞-群胚的概念可在内涵类型理论内部定义。
• 通过将类型论构造与经典同伦理论联系，提供同伦假设的新证明。

提出的方法

• 将柱体共化器引入为 Grothendieck 共化器的推广，定义可自由生成弱 ∞-群胚的代数结构。
• 为每个柱体共化器构造一个组合半模型范畴，其中所有对象均为纤维化。
• 在预柱体范畴上使用弱模型结构，以定义路径对象和纤维化等同伦论操作。
• 对类型理论的句法范畴（T∗_w.i.e.）应用完成过程，以获得弱 ∞-群胚的代数模型。
• 证明从内涵类型理论句法范畴出发的态射保持弱等价性，确保其与同伦理论兼容。
• 证明 T∗_w.i.e. 的句法范畴的对偶是一个柱体共化器，从而可在类型论中内部定义弱 ∞-群胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 柱体共化器能否用于构造与空间 Quillen 等价的弱 ∞-群胚半模型范畴？
• RQ2 是否存在一种类型论构造，可内部定义弱 ∞-群胚，并在经典意义下等价于同伦类型？
• RQ3 带有等价类型的内涵类型理论的句法范畴是否产生有效的柱体共化器？
• RQ4 能否通过弱 ∞-群胚的纯代数、类型论构造来证明同伦假设？
• RQ5 何种条件可确保柱体共化器生成行为良好的同伦类型模型？

主要发现

• 每个柱体共化器均生成一个组合半模型范畴，其中所有对象均为纤维化。
• 所有此类半模型范畴均与标准拓扑空间模型范畴 Quillen 等价。
• 类型理论 T∗_w.i.e.（含等价类型与自反性）的句法范畴生成一个柱体共化器，其完成为由类型论构造定义的运算的格罗博格集范畴。
• C(T∗_w.i.e.)^op 的完成是配备有所有可在内涵类型理论中定义的运算（包括路径对象与同伦）的格罗博格集范畴。
• 通过 T∗_w.i.e. 构造弱 ∞-群胚的过程在类型论中可内部定义，推广了 Brunerie 的方法。
• 本文表明，若关于 T∗_w.i.e. 句法范畴行为的单一技术猜想为真，则 Grothendieck 的同伦假设可被推导，且该模型将行为良好并等价于空间。