[论文解读] Algebras of quantum monodromy data and decorated character varieties

Leonid Chekhov, Marta Mazzocco+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文提出了一套用于黎曼曲面上具有高阶极点的不规则奇点联络的量子单值性代数框架，构建了一个包含 Stokes 数据与形式单值性的装饰特征簇。该文猜想此类联络的 de Rham 模空间与装饰特征簇之间存在泊松同构，并在亏格零、秩二、Poincaré 阶数三的情形下得到验证，其结果与 Jimbo-Miwa 系统及 PII 方程相关联。

ABSTRACT

The Riemann-Hilbert correspondence is an isomorphism between the de Rham moduli space and the Betti moduli space, defined by associating to each Fuchsian system its monodromy representation class. In 1997 Hitchin proved that this map is a symplectomorphism. In this paper, we address the question of what happens to this theory if we extend the de Rham moduli space by allowing connections with higher order poles. In our previous paper arXiv:1511.03851, based on the idea of interpreting higher order poles in the connection as boundary components with bordered cusps (vertices of ideal triangles in the Poincaré metric) on the Riemann surface, we introduced the notion of decorated character variety to generalize the Betti moduli space. This decorated character variety is the quotient of the space of representations of the fundamental groupid of arcs by a product of unipotent Borel sub-groups (one per bordered cusp). Here we prove that this representation space is endowed with a Poisson structure induced by the Fock--Rosly bracket and show that the quotient by unipotent Borel subgroups giving rise to the decorated character variety is a Poisson reduction. We deal with the Poisson bracket and its quantization simultaneously, thus providing a quantisation of the decorated character variety. In the case of dimension 2, we also endow the representation space with explicit Darboux coordinates. We conclude with a conjecture on the extended Riemann-Hilbert correspondence in the case of higher order poles.

研究动机与目标

• 将经典的黎曼-希尔伯特对应关系推广至黎曼曲面上具有高阶极点的不规则奇点联络。
• 定义一个编码了 Stokes 数据、形式单值性及形式解增长速率的量子单值性代数。
• 构建一个包含单值性数据与额外装饰数据（形式解的增长速率）的装饰特征簇。
• 猜想黎曼-希尔伯特对应关系在 de Rham 模空间与装饰特征簇之间诱导出一个泊松同构。
• 在非平凡情形下验证该猜想：亏格零、秩二、一个 Poincaré 阶数为三的不规则奇点，该情形与 PII 方程相关。

提出的方法

• 利用形式解 $Y_p$ 及其变分的余项公式，在具有不规则奇点的亚纯联络空间上引入辛结构。
• 将装饰特征簇 $\mathcal{Z}_{irr}^{k}(\Sigma_{g,s})$ 定义为联络模 $SL_k$-规范变换的模空间与一个装饰空间（形式解增长速率）的乘积。
• 使用 Krichever 构造计算 de Rham 模空间的维数与辛形式，其中涉及 $\mathrm{Tr}(Y^{-1}\delta A \wedge \delta Y)$ 的余项公式。
• 应用等单值形变条件 $\partial A/\partial t - \partial B/\partial z = [B,A]$，将空间限制为 de Rham 侧的一个二维子流形。
• 利用 Gaiotto-Moore-Neitzke 框架设定 $n = 2(r_1 + \cdots + r_s)$，以确保装饰特征簇与 Higgs 簇模空间之间的维数匹配。
• 借助 Boalch、Gualtieri-Li-Pym 以及 Inaba-Saito 关于野生特征簇与广义单值性数据的研究成果，支持该猜想的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 黎曼-希尔伯特对应关系能否推广至包含高阶极点的不规则奇点联络？
• RQ2 在不规则情形下，何种代数与几何结构能够捕捉单值性数据、Stokes 数据及形式解增长速率？
• RQ3 不规则联络的 de Rham 模空间与一个包含 Stokes 与形式单值性的装饰特征簇之间是否存在泊松同构？
• RQ4 等单值形变如何约束 de Rham 侧的模空间？其结构是否与 Betti 侧一致？
• RQ5 在单个不规则奇点的情形下，装饰特征簇的维数与辛结构是否与 Higgs 簇模空间一致？

主要发现

• 秩二、一个 Poincaré 阶数为三的不规则奇点的联络空间 $\mathcal{Z}_{irr}^{2}(\Sigma_{0,1})$ 的维数为 9，其辛形式由涉及形式解的余项公式导出。
• 在施加等单值形变条件 $\partial A/\partial t - \partial B/\partial z = [B,A]$ 后，de Rham 侧简化为一个二维子流形 $\tilde{\mathcal{Z}}_{irr}^{2}(\Sigma_{0,1})$。
• 亏格 0、一个边界、六个边界尖点、秩二的装饰特征簇 $\mathcal{M}_{0,1,6}^{2}$ 的维数为 9，且有一个卡西米尔，与 de Rham 侧维数一致。
• Betti 侧的等单值形变子代数由与边界尖点之间弧线关联的冻结簇变量泊松对易的函数定义。
• 广义单值性数据空间 $\widetilde{\mathcal{R}(0,2,1)}$ 的维数为 8，与 $\dim \mathcal{M}_{0,1,6}^{2} - 1$ 一致，与存在一个卡西米尔的事实相符。
• 猜想：黎曼-希尔伯特映射 $RH: \mathcal{Z}_{irr}^{k}(\Sigma_{g,s}) \to \mathcal{M}_{g,s,n}^{k}$ 是一个泊松同构，在 $g=0$、$k=2$、$r=3$ 情形下得到验证，其结果与 Jimbo-Miwa 系统及 PII 方程相关。