[论文解读] An alternative description of the Drinfeld p-adic half-plane

Stephen S. Kudla, Michael Rapoport|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文通过利用一个关于分裂厄米特空间 $C$ 的 $ \mathrm{SL}_2(F)$ 与 $ \mathrm{SU}(C)(F)$ 之间的偶然同构，建立了德林费尔德 $p$-进上半平面的另一种模形式描述，表明其形式模型参数化了满足科特维茨条件的极化 $O_E$-模，其中包含一个在二次扩张 $E/F$ 中的整闭包作用。关键结果是在 $p \neq 2$ 时，该新模问题与德林费尔德原始模问题之间存在一个比较同构。

ABSTRACT

We show that the Deligne formal model of the Drinfeld p-adic halfplane relative to a non-archimedean local field F represents a moduli problem of polarized O_F-modules with an action of the ring of integers O_E in a quadratic extension E of F. The proof proceeds by establishing a comparison isomorphism with the Drinfeld moduli problem. This isomorphism reflects the accidental isomorphism of SL_2(F) and SU(C)(F) for a two-dimensional split hermitian space C for E/F.

研究动机与目标

• 为德林费尔德 $p$-进上半平面在 $p$-进域 $F$ 上的德利涅形式模型提供一种新的模形式解释。
• 证明该形式模型参数化了满足科特维茨条件的极化 $O_E$-模，其作用于 $E/F$ 的整闭包。
• 在形式 $O_F$-模具有四元数作用的情况下，建立该新模问题与德林费尔德原始模问题之间的同构。
• 通过布饶特-蒂茨树与局部模型，阐明该形式模型特殊纤维的几何与算术结构。
• 探讨极化类型与构型对象在分类此类模空间中的作用，特别是在分歧与非分歧情形下。

提出的方法

• 在 $\mathrm{Nilp}_{\breve{O}_F}$ 上定义一个新的模函子 $\mathcal{N}_E$，其参数化四元组 $(X, \iota, \lambda, \varrho)$，其中 $X$ 是维数为 2、$F$-高度为 4 的形式 $O_F$-模，$\iota$ 是满足科特维茨条件 $\mathrm{char}_{\mathcal{O}_S}(T, \iota(\alpha)|\mathrm{Lie}\,X) = (T - \alpha)(T - \bar{\alpha})$ 的 $O_E$-作用。
• 根据 $E/F$ 的分歧性，为模空间配备一个主极化或高度为 1 的极化，并通过一个与固定基对象 $({\mathbb{X}}, \iota, \lambda_{\mathbb{X}})$ 的构型 $\varrho$ 来定义。
• 通过 $E/F$ 上二维分裂厄米特空间 $C$ 的偶然同构 $\mathrm{SL}_2(F) \cong \mathrm{SU}(C)(F)$，构造 $\mathcal{N}_E$ 与德林费尔德模空间 $\mathcal{M}$ 之间的比较同构。
• 利用局部模型理论与晶体迪厄多内理论分析特殊纤维，证明模空间 $\mathcal{N}_E$ 同构于 $\breve{O}_F$ 上的德林费尔德上半平面。
• 将特殊纤维的结构分析为 $F^2$ 中 $O_F$-格的位似类所索引的射影直线的并集，其交点模式与布饶特-蒂茨树 $\mathcal{B}(\mathrm{PGL}_2, F)$ 一致。
• 根据 $E/F$ 的分歧性（非分歧与分歧）及极化类型区分不同情形，表明模空间在大多数情况下是平坦但非光滑的，并具有半稳定减少。

实验结果

研究问题

• RQ1 德林费尔德 $p$-进上半平面能否被描述为具有二次扩张 $E/F$ 上厄米特结构的 $O_E$-模的模空间？
• RQ2 在分裂厄米特空间 $C$ 下，$ \mathrm{SL}_2(F)$ 与 $ \mathrm{SU}(C)(F)$ 之间的偶然同构如何诱导不同模问题之间的等价？
• RQ3 构型对象 $({\mathbb{X}}, \iota, \lambda_{\mathbb{X}})$ 在定义模空间 $\mathcal{N}_E$ 时起什么作用？其选择如何影响模空间的几何结构？
• RQ4 不同极化类型（主极化、高度 1，或 $X[\Pi]$）如何导致不同的模空间？它们在分歧与非分歧情形下的几何性质（如光滑性、约化点集）是什么？
• RQ5 模空间 $\mathcal{N}_E$ 的特殊纤维能否被描述为射影直线的并集，其交点模式与 $\mathrm{PGL}_2(F)$ 的布饶特-蒂茨树一致？

主要发现

• 形式概形 $\breve{\Omega}_F$ 同构于参数化满足科特维茨条件并具有到固定基对象的构型的极化 $O_E$-模的模空间 $\mathcal{N}_E$。
• 该同构由 $E/F$ 上二维分裂厄米特空间 $C$ 的偶然同构 $\mathrm{SL}_2(F) \cong \mathrm{SU}(C)(F)$ 所诱导。
• 在非分歧情形下，模空间 $\mathcal{N}_E$ 是平坦但非光滑的，其特殊纤维同构于布饶特-蒂茨树 $\mathcal{B}(\mathrm{PGL}_2, F)$，且约化点集为单个点。
• 在分歧情形下，模空间 $\mathcal{N}_E$ 同样平坦但非光滑，其特殊纤维再次为 $F^2$ 中 $O_F$-格的位似类所索引的射影直线的并集，其交点模式与布饶特-蒂茨树一致。
• 在分歧情形下，若为极化主极化，则两个不同的构型对象导致不同的模空间：一个为单个约化点（非分歧情形），另一个为光滑部分与孤立点的不相交并集（分裂情形），二者由其晶体判别式区分。
• 局部模型理论确认模空间在所有情形下均具有半稳定减少，且分歧情形下的孤立点违反了自旋条件，这与局部模型的前期工作一致。