[论文解读] Local models of Shimura varieties, I. Geometry and combinatorics

G. Pappas, Michael Rapoport+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 92被引用 41

一句话总结

本文全面综述了志村簇的局部模型，聚焦其几何与组合结构。文章介绍了两种局部模型的方法——通过格拉斯曼簇中的线性代数数据，以及通过贝林森-德林菲尔德-盖茨戈里变形中施佩尔曼子簇的闭包——强调了其在帕拉霍里型水平结构情形下对志村簇奇点的建模作用，关键成果包括平坦性、科恩-麦克aul伊性、有理奇点，以及具有正规相交特殊纤维的解析解。

ABSTRACT

We survey the theory of local models of Shimura varieties. In particular, we discuss their definition and illustrate it by examples. We give an overview of the results on their geometry and combinatorics obtained in the last 15 years. We also exhibit their connections to other classes of algebraic varieties such as nilpotent orbit closures, affine Schubert varieties, quiver Grassmannians and wonderful completions of symmetric spaces.

研究动机与目标

• 综述志村簇局部模型的理论，强调其几何与组合结构。
• 阐明局部模型在理解志村簇模 p 约化时奇点的作用，特别是当 p 处的水平结构为帕拉霍里型时。
• 将局部模型与更广泛的代数几何背景联系起来，包括阿贝尔簇的模空间、奇异曲线上的向量丛，以及有限平坦群概形。
• 突出过去 15 年来关于平坦性、科恩-麦克aul伊性及具有正规相交特殊纤维的解析解的开放问题与最新进展。
• 为后续关于上同调方面的研究（包括凝聚层与 ℓ 进层上同调，以及科特维茨关于邻近上同调的猜想）奠定基础。

提出的方法

• 将局部模型定义为由类型 A、C 及部分 D 情形下的格拉斯曼簇积中线性代数数据构造的离散赋值环谱上的射影概形。
• 利用贝林森-德林菲尔德-盖茨戈里的仿射旗簇变形，将局部模型实现为施佩尔曼子簇的闭包。
• 通过 Iwahori-Weyl 群中的 {μ}-可允许集分析局部模型的特殊纤维，将组合结构与几何联系起来。
• 通过 Deligne 概形及其最小模型的解析技术，利用齐性空间 (PGLr)^s / PGLr 的等变射影嵌入实现解析。
• 通过矩阵方程（例如 AA^T = A^T A = π·I）显式构造解析解，并将其与美妙完成及托里科德解析联系起来。
• 利用法尔廷斯的方法构建局部模型的等变解析解，证明其特殊纤维可为具有可计算重数的正规相交除子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当水平结构为帕拉霍里型时，局部模型如何捕捉志村簇模 p 约化下的奇点？
• RQ2 在何种条件下，局部模型是平坦的、科恩-麦克aul伊的，或具有有理奇点？
• RQ3 局部模型如何与其它模空间（如有限平坦群概形或奇异曲线上的向量丛模空间）相关联？
• RQ4 能否显式构造具有正规相交特殊纤维的局部模型解析解？其分量的重数为何？
• RQ5 局部模型的邻近上同调复形结构如何？其与科特维茨猜想有何关联？

主要发现

• 对于矩阵方程 Z = {A ∈ Mat_n×n | AA^T = A^T A = π·I}，当 n 为偶数时，其平坦闭包为科恩-麦克aul伊且具有有理奇点；当 n 为奇数时，其正规化为科恩-麦克aul伊且具有有理奇点。
• 法尔廷斯为 2 阶辛群构造了具有正规相交特殊纤维的等变解析解，并计算了分量的重数。
• 与格子排列相关的 Deligne 概形的最小模型 D_min 在 r = 2 时给出 Spec R 上的半稳定曲线，且通过 genus 0 半稳定标记曲线的模空间参数化该排列。
• 格子排列的普遍族的底空间是 (PGL2)^s / PGL2 的射影等变嵌入，属于 Laumon 型，容许局部模型的正则修正。
• 对于方程 {A = A^T, A^2 = π·I}，解空间刻画了分歧酉群与极大帕拉霍里子群的局部模型。
• 如 (8.4.8)–(8.4.10) 中的矩阵方程源于对称空间到射影空间的嵌入，其奇点被局部模型所建模，即使其与局部模型之间并无先验直接关联。