[论文解读] An analogue of the L\'{e}vy-Hin\v{c}in formula for bi-free infinitely divisible distributions

Yinzheng Gu, Hao-Wei Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文建立了在加法双自由卷积下，对紧支集平面概率测度无限可分性情形的双自由Lévy-Hinłcin公式之双自由类比。利用双自由矩与累积量公式及双自由极限定理，作者推导出双自由无限可分分布的积分表示，并证明了加法双自由卷积半群以及紧支集生成测度的双自由Lévy过程的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we derive the bi-free analogue of the L\'{e}vy-Hin\v{c}in formula for compactly supported planar probability measures which are infinitely divisible with respect to the additive bi-free convolution introduced by Voiculescu. We also provide examples of bi-free infinitely divisible distributions with their bi-free L\'{e}vy-Hin\v{c}in representations. Furthermore, we construct the bi-free L\'{e}vy processes and the additive bi-free convolution semigroups generated by compactly supported planar probability measures.

研究动机与目标

• 将经典及自由Lévy-Hinłcin表示推广至平面概率测度的双自由设定中。
• 通过其双自由R-变换与累积量生成函数，刻画双自由无限可分分布。
• 构造由紧支集平面测度生成的加法双自由卷积半群与双自由Lévy过程。
• 提供显式例子，如双自由高斯分布与复合泊松分布，证明其为⊞⊞-无限可分。

提出的方法

• 在具有投影的非交换概率空间中，利用双自由累积量与矩-累积量公式。
• 应用双自由极限定理，推导无限可分分布的双自由Lévy-Hinłcin表示。
• 通过压缩代数(pAp, ϕpAp)将原对(a,b)的累积量与(pta)p, (ptb)p的累积量联系起来。
• 利用恒等式κpAp_m+n = t·κm+n(a,...,a,b,...,b)证明累积量关于t线性缩放，从而确立半群行为。
• 应用矩-累积量公式与正定性条件，证明对每个t ≥ 1，存在表示测度µt。
• 通过矩与累积量关于t的连续性，建立映射t ↦ µt的弱*连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在加法双自由卷积下，紧支集平面概率测度的双自由Lévy-Hinłcin公式是什么？
• RQ2 如何通过其双自由R-变换与累积量序列表征双自由无限可分分布？
• RQ3 加法双自由卷积半群在紧支集平面测度下是否存在，能否显式构造？
• RQ4 能否从这些测度定义并构造双自由Lévy过程，其半群性质如何？

主要发现

• 推导出双自由Lévy-Hinłcin公式，为R²上双自由无限可分分布提供了完整的积分表示。
• 双自由卷积半群µt的累积量满足κµt_m,n = t·κµ_m,n，对所有t ≥ 1成立，确保线性缩放。
• 证明了加法双自由卷积半群(µt)t≥1的存在性，满足µs ⊞⊞ µt = µs+t且µ1 = µ。
• 映射t ↦ µt是弱*连续的，确保半群在测度拓扑下行为良好。
• 显式例子如双自由高斯分布与复合泊松分布被证明为⊞⊞-无限可分。
• 双自由Lévy过程被构造为时间非齐次过程，其有限维分布构成半群(µt)t≥1。