[论文解读] An idea on proving weighted Sobolev embeddings

Klaus Gansberger|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2010

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过借助薛定谔算子重新表述问题，建立了加权Sobolev空间 $ H^1(\bbR^n, \fhi) $ 到 $ L^2(\bbR^n, \fhi) $ 的紧嵌入的刻画。关键结果将紧嵌入与算子 $ \mathcal{S} = -\Delta + \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $ 的预解算子的紧致性联系起来，必要且充分条件以权重函数的导数和Wiener容量的形式表达。

ABSTRACT

This article contains a characterization of when certain weighted Sobolev spaces on $\Bbb R^n$ embed compactly into $L^2(\mathbb R^n, φ)$. The characterization is in terms of derivatives of the weight function $φ$ and involves the Wiener capacity, as it is obtained from reformulating the problem in terms of resolvent properties of Schrödinger operators. This reformulation also works for general domains.

研究动机与目标

• 刻画加权Sobolev空间 $ H^1(\bbR^n, \fhi) $ 紧嵌入到 $ L^2(\bbR^n, \fhi) $ 的条件。
• 建立紧致Sobolev嵌入与由权重函数 $ \fhi $ 导出的薛定谔算子的预解算子紧致性之间的联系。
• 通过薛定谔算子的Dirichlet与von Neumann实现，将刻画推广到一般无界区域。
• 以权重函数的导数和几何容量理论的形式，提供紧嵌入的必要且充分条件。

提出的方法

• 将紧嵌入问题重新表述为薛定谔算子 $ \mathcal{S} = -\Delta + V $ 的谱性质问题，其中 $ V = \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $。
• 利用已知的谱理论，证明 $ \mathcal{S} $ 的预解算子紧致可推出 $ H^1(\bbR^n, \fhi) $ 到 $ L^2(\bbR^n, \fhi) $ 的紧嵌入。
• 应用Wiener容量准则，基于 $ \fhi $ 在无穷远处的行为，刻画 $ \mathcal{S} $ 的预解算子何时具有紧致性。
• 对于一般区域 $ \Omega $，区分 $ H^1_0(\Omega, \fhi) $ 与 $ H^1(\Omega, \fhi) $，并将它们的紧嵌入与 $ \mathcal{S} $ 的Dirichlet与von Neumann实现联系起来。
• 利用二次型的Friedrichs扩张，识别边界区域上薛定谔算子的正确自伴实现。
• 借助已知的薛定谔算子预解算子紧致性的判别准则，包括Fefferman-Phong引理，推导出充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在权重函数 $ \fhi $ 满足何种条件时，嵌入 $ H^1(\bbR^n, \fhi) \hookrightarrow L^2(\bbR^n, \fhi) $ 是紧致的？
• RQ2 如何通过由 $ \fhi $ 导出的薛定谔算子的谱性质刻画嵌入的紧致性？
• RQ3 Wiener容量在确定嵌入紧致性中起什么作用？
• RQ4 结果如何从 $ \bbR^n $ 推广到具有边界的无界一般区域？
• RQ5 加权Sobolev空间 $ H^1(\Omega, \fhi) $ 与具有势 $ V_1 $ 的薛定谔算子 $ \mathcal{S}_1 $ 之间存在何种关系？

主要发现

• 当且仅当薛定谔算子 $ \mathcal{S} = -\Delta + \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $ 的预解算子紧致时，嵌入 $ H^1(\bbR^n, \fhi) \hookrightarrow L^2(\bbR^n, \fhi) $ 是紧致的。
• 紧嵌入的必要且充分条件是：当 $ |x| \to \infty $ 时，有 $ \int_{\bbB(x,1)} \left( \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi \right) d\lambda \to \infty $。
• $ \mathcal{S} $ 的预解算子的紧致性等价于其势函数 $ V = \frac{1}{4}|\nabla\fhi|^2 - \frac{1}{2}\Delta\fhi $ 在固定半径球上的积分在中心趋于无穷时发散。
• 对于一般区域 $ \Omega $，当且仅当 $ \mathcal{S}_1 $ 的Dirichlet实现具有紧致预解算子时，嵌入 $ H^1_0(\Omega, \fhi) \hookrightarrow L^2(\Omega, \fhi) $ 是紧致的。
• 类似地，当且仅当 $ \mathcal{S}_1 $ 的von Neumann实现具有紧致预解算子时，嵌入 $ H^1(\Omega, \fhi) \hookrightarrow L^2(\Omega, \fhi) $ 是紧致的。
• 这些结果通过将Sobolev范数与薛定谔算子的二次型关联，并利用谱理论（包括Friedrichs扩张以及[7]中的紧致性判别准则和Fefferman-Phong引理）推导得出。