[论文解读] An intrinsic formulation of the rolling manifolds problem

Mauricio Godoy Molina, Erlend Grong+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2010

Mathematics and Applications参考文献 12被引用 13

一句话总结

本文提出了两个 $n$-维黎曼流形滚动问题的内在公式化，定义了维度为 $rac{n(n+3)}{2}$ 的配置空间，并通过一个秩为 $n$ 的分布编码无扭转和无滑动条件。主要贡献在于证明了 $n$-球面在 $/mathbb{R}^n$ 上滚动时的可控性，同时指出 $SE(3)$ 在 $/mathfrak{se}(3)$ 上滚动时不可控，原因在于27维配置空间存在12维的叶状结构。

ABSTRACT

We present an intrinsic formulation of the kinematic problem of two $n-$dimensional manifolds rolling one on another without twisting or slipping. We determine the configuration space of the system, which is an $\frac{n(n+3)}2-$dimensional manifold. The conditions of no-twisting and no-slipping are decoded by means of a distribution of rank $n$. We compare the intrinsic point of view versus the extrinsic one. We also show that the kinematic system of rolling the $n$-dimensional sphere over $\mathbb R^n$ is controllable. In contrast with this, we show that in the case of $SE(3)$ rolling over $\mathfrak{se}(3)$ the system is not controllable, since the configuration space of dimension 27 is foliated by submanifolds of dimension 12.

研究动机与目标

• 开发一种适用于抽象黎曼流形的滚动无滑动或无扭转问题的内在几何公式化，独立于外在嵌入。
• 将滚动系统的配置空间定义为维度为 $\frac{n(n+3)}{2}$ 的流形，推广先前基于外在嵌入的方法。
• 通过配置空间上的秩为 $n$ 的分布表征无扭转和无滑动约束，实现内在分析。
• 比较内在与外在公式化方法，表明内在方法在不依赖环境空间的前提下捕捉了相同的运动学约束。

提出的方法

• 配置空间被构造为两个 $n$-维流形的乘积上的纤维丛，其结构源自其标准正交标架丛。
• 滚动运动被定义为该配置空间中一条与秩为 $n$ 的分布相切的曲线，该分布代表运动学约束。
• 该分布被显式构造为由流形的内在几何及其法丛连接所导出的向量场的局部张成。
• 利用嘉当准则分析该分布的括号生成性质，以确定系统的可控性。
• 将理论应用于两个关键实例：$n$-球面在 $\mathbb{R}^n$ 上滚动，以及 $SE(3)$ 在 $\mathfrak{se}(3)$ 上滚动，采用显式标架计算。
• 分析中放宽光滑性要求至绝对连续性，同时保持微分几何与控制理论工具的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 滚动无滑动或无扭转问题能否以内在方式公式化，而无需依赖嵌入欧几里得空间？
• RQ2 滚动 $n$-维流形的配置空间的精确维度与几何结构是什么？
• RQ3 内在与外在公式化方法之间有何关系？它们共享哪些不依赖嵌入的信息？
• RQ4 由无扭转与无滑动条件定义的分布是否具有括号生成性质？这对可控性意味着什么？
• RQ5 为何 $SE(3)$ 在 $\mathfrak{se}(3)$ 上滚动的系统不可控，尽管其配置空间为27维？

主要发现

• 滚动两个 $n$-维流形的配置空间是一个 $\frac{n(n+3)}{2}$-维流形，推广了已知结果。
• 无扭转与无滑动条件在配置空间上定义了一个秩为 $n$ 的分布，该分布内在地编码了运动学约束。
• 对于 $n$-球面在 $\mathbb{R}^n$ 上滚动的情形，该分布具有括号生成性质，意味着系统是可控的。
• 对于 $SE(3)$ 在 $\mathfrak{se}(3)$ 上滚动的情形，27维的配置空间被12维的子流形叶状分解，表明系统不可控。
• 内在公式化捕捉到了与外在方法相同的运动学约束，但不依赖于嵌入，揭示了问题的几何核心。