[论文解读] On local geometry of rank 3 distributions with 6-dimensional square

Boris Doubrov, Igor Zelenko|ArXiv.org|Jul 21, 2008

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 3被引用 12

一句话总结

该论文通过特征曲线（异常极值曲线）和辛空间中旗线的几何结构，解决了在任意维数流形上，秩为3且导出分布为6维的完全非完整分布的等价性问题。关键贡献在于基于杨图的规范标架构造与分类，揭示了对称代数的维数随维数呈指数增长，尤其在 n > 6 时更为显著。

ABSTRACT

We solve the equivalence problem for rank 3 completely nonholonomic vector distributions with 6-dimensional square on a smooth manifold of arbitrary dimension n under very mild genericity conditions. The main idea is to consider the projectivization of the annihilator of a given 3-dimensional distribution. It is naturally foliated by characteristic curves, which are also called the abnormal extremals of the distribution. The dynamics of vertical fibers along characteristic curves defines certain curves of flags of isotropic and coisotropic subspaces in a linear symplectic space. The problem of equivalence of distributions can be essentially reduced to the differential geometry of such curves. The class of all 3-distributions under consideration is split into a finite number of subclasses according to the Young diagram of their flags. The local geometry of distributions can be recovered from the properties of the symmetry group of so-called flat curves of flags associated with this Young diagram. In each subclass we describe the flat distribution and construct a canonical frame for any other distribution. It turns out that for n>6 in the most nontrivial case the symmetry algebra of the flat distribution can be described in terms of rational normal curves (their secants and tangential developables) in projective spaces and its dimension grows exponentially with respect to n.

研究动机与目标

• 解决在任意维数流形上，秩为3且导出分布为6维的分布的等价性问题。
• 通过关联的各向同性/共向同性旗线的杨图对这类分布进行分类。
• 为该类中的每个分布构造一个规范标架，将等价性问题归约为平坦旗线的几何结构。
• 以射影空间中理性正常曲线及其割线的形式，描述平坦模型的对称代数结构。
• 证明当 n > 6 时，对称代数维数随 n 呈指数增长，尤其在最非平凡的情形下。

提出的方法

• 将3维分布 D 的正交补 $ D^ot $ 投影化，其自然地继承了一类由特征曲线（异常极值曲线）构成的叶状结构。
• 沿这些曲线线性化动力学，得到辛向量空间中各向同性与共向同性子空间旗线的曲线。
• 根据关联旗线曲线的杨图对分布进行分类，该杨图编码了旗的类型。
• 通过将对称代数实现为对应平坦旗线的无穷小对称群，为每个杨图构造一个平坦模型。
• 应用Tanaka延拓理论计算对称代数的符号代数及其延拓，证明第一类修正延拓为平凡。
• 应用关于理性正常曲线割线簇的结果，描述旗线的定义理想，并在矩形图情形下显式计算对称代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在较弱的通用性条件下，如何解决秩为3的非完整分布在6维平方情形下的等价性问题？
• RQ2 异常极值曲线（特征曲线）在这些分布的几何结构中起什么作用？
• RQ3 关联旗线曲线的杨图如何对这些分布的局部几何结构进行分类？
• RQ4 每类平坦模型的对称代数结构是怎样的？其维数如何随流形维数增长？
• RQ5 在矩形图情形下，理性正常曲线及其割线以何种方式决定平坦旗线的无穷小对称性？

主要发现

• 通过基于异常极值曲线几何结构的规范标架构造，解决了秩为3且导出分布为6维的分布的等价性问题。
• 此类分布的分类由辛空间中关联旗线曲线的杨图决定。
• 当 $ n > 6 $ 时，平坦模型的对称代数维数随 $ n $ 呈指数增长，尤其在最非平凡的情形下。
• 平坦模型的对称代数被实现为平坦旗线的无穷小对称代数，其同构于符号代数的Tanaka延拓。
• 在矩形图情形（$ k imes 2 $）中，符号代数 $ rak{s}_{k,0} $ 同构于 $ rak{sl}(2,bR) imes rak{gl}(2,bR) $，且当 $ k o bR $ 时其第一类修正延拓为平凡。
• 理性正常曲线的 $ n $-重割线簇的定义理想由一个Hankel矩阵的 $ (n+2) $ 阶子式生成，该结果在 $ k=2 $ 情形下完全刻画了对称代数。