[论文解读] An introduction to motivic zeta functions of motives

Yves André|ArXiv.org|Dec 19, 2008

advanced mathematical theories参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文引入动机zeta函数作为工具，通过动机哲学研究费曼振幅中的周期和多重zeta值。通过分析模素数的点计数的多项式行为，将算术几何与量子场论联系起来，提出一个动机框架，通过Hasse-Weil zeta函数和动机L-函数测试周期是否为多重zeta值。

ABSTRACT

It oftens occurs that Taylor coefficients of (dimensionally regularized) Feynman amplitudes $I$ with rational parameters, expanded at an integral dimension $D= D_0$, are not only periods (Belkale, Brosnan, Bogner, Weinzierl) but actually multiple zeta values (Broadhurst, Kreimer). In order to determine, at least heuristically, whether this is the case in concrete instances, the philosophy of motives - more specifically, the theory of mixed Tate motives - suggests an arithmetic approach (Kontsevich): counting points of algebraic varieties related to $I$ modulo sufficiently many primes $p$ and checking that the number of points varies polynomially in $p$. On the other hand, Kapranov has introduced a new "zeta function", the role of which is precisely to "interpolate" between zeta functions of reductions modulo different primes $p$. In this survey, we outline this circle of ideas and some of their recent developments.

研究动机与目标

• 建立一个动机框架，用于分析费曼积分的周期是否为多重zeta值。
• 将代数簇模素数的算术性质与周期及多重zeta值的结构联系起来。
• 开发在不同素数模约化下的Hasse-Weil zeta函数之间插值的动机zeta函数。
• 使用点计数技术，在费曼振幅的背景下测试格罗滕迪克和泰特猜想。
• 探索曲线上的G-挠化丛模堆栈的动机L-函数及其特殊值。

提出的方法

• 使用动机方法，通过其上同调实现（特别是Betti上同调和de Rham上同调）研究定义在Q上的代数簇的周期。
• 应用动机哲学，通过将周期视为不同上同调理论之间规范同构的条目，将费曼积分与代数几何联系起来。
• 采用模素数p的点计数技术，测试有理点数N_p是否关于p多项式变化，若成立则表明周期为多重zeta值。
• 引入在不同素数模约化下的Hasse-Weil zeta函数之间插值的动机zeta函数Z_mot(X, t)。
• 为动机上的群作用推导动机L-函数L_mot(X, χ, t)，其在有限域上特化为Artin L-函数。
• 使用Bruhat分解和K_0(M(k))中的类公式，计算半单群及其分类堆栈的动机类。

实验结果

研究问题

• RQ1 模素数的点计数算术能否确定费曼积分的周期是否为多重zeta值？
• RQ2 动机zeta函数在多大程度上在不同素数模约化下的Hasse-Weil zeta函数之间实现插值？
• RQ3 动机L-函数与有限域上的经典L-函数有何关系？
• RQ4 曲线上的G-挠化丛模堆栈的类的动机解释是什么？
• RQ5 猜想公式[Bun_{G,X}] = [Q((1−g)dim G)] ∏ Z_mot(X, [Q(d_i)])是否普遍成立？

主要发现

• 若模p的有理点数N_p关于p不是多项式，则在格罗滕迪克和泰特猜想下，相应代数簇的周期不可能是多重zeta值。
• 动机zeta函数Z_mot(X, t)是有理函数，其极点仅出现在t = 1和t = [Q(1)]处，因此在临界点处具有良好的特殊值。
• 当X = P^1且G为任意单连通半单群时，猜想[Bun_{G,X}] = [Q((1−g)dim G)] ∏ Z_mot(X, [Q(d_i)])无条件成立。
• 当G = SL_n且X为任意光滑射影曲线时，该猜想已得证明，从而为G-挠化丛模堆栈的类提供了动机公式。
• 该公式特化为已知结果：在C上，通过Atiyah-Bott理论给出Bun_{G,X}的欧拉示性数；在F_q上，通过Tamagawa数公式给出k-有理点的数量。
• 半单群G的动机类由[G] = L^{dim G} ∏_{i=1}^r (1 − L^{-d_i}) 给出，其中d_i为基本Weyl不变量的次数，在K_0(M(k))[L^{-1}]中成立。