[论文解读] An Introduction to Query Order

Edith Hemaspaandra, Lane A. Hemaspaandra+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 1999

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 29被引用 14

一句话总结

本文研究计算复杂性中的查询顺序影响，聚焦于访问两个不同预言机集合的顺序是否会影响多项式时间可解问题类。研究发现，在多项式层次中，查询顺序从不产生影响；而在布尔层次中，它有时会产生影响，为结构复杂性、瓶颈计算与完备性类提供了新见解。

ABSTRACT

Hemaspaandra, Hempel, and Wechsung [cs.CC/9909020] raised the following questions: If one is allowed one question to each of two different information sources, does the order in which one asks the questions affect the class of problems that one can solve with the given access? If so, which order yields the greater computational power? The answers to these questions have been learned-inasfar as they can be learned without resolving whether or not the polynomial hierarchy collapses-for both the polynomial hierarchy and the boolean hierarchy. In the polynomial hierarchy, query order never matters. In the boolean hierarchy, query order sometimes does not matter and, unless the polynomial hierarchy collapses, sometimes does matter. Furthermore, the study of query order has yielded dividends in seemingly unrelated areas, such as bottleneck computations and downward translation of equality. In this article, we present some of the central results on query order. The article is written in such a way as to encourage the reader to try his or her own hand at proving some of these results. We also give literature pointers to the quickly growing set of related results and applications.

研究动机与目标

• 确定查询两个预言机的顺序是否会影响多项式时间机器的计算能力。
• 分析多项式层次与布尔层次在查询顺序敏感性方面的结构性差异。
• 探索查询顺序与其他复杂性理论概念（如瓶颈机器、建议类与完备性类型）之间的联系。
• 提供基础性结果与开放问题，以激励对查询顺序现象的进一步研究。
• 建立查询顺序与更广泛的复杂性问题之间的联系，包括多项式层次的塌缩以及不同约化下的完备性。

提出的方法

• 使用记号 $\mathrm{P}^{\mathcal{C}:{\mathcal{D}}}$ 表示多项式时间机器先向 $\mathcal{C}$ 类中的集合查询一次，再向 $\mathcal{D}$ 类中的集合查询一次，从而形式化查询顺序。
• 将查询顺序概念应用于多项式层次的层级（如 $\Sigma_k^p$）与布尔层次（如 $\mathrm{DIFF}_m(\Sigma_k^p)$），分析其闭包性质。
• 运用约化与闭包论证，证明若 $\mathrm{P}^{\Sigma_k^p[1]} = \mathrm{P}^{\Sigma_k^p[2]}$，则布尔层次发生塌缩，从而将查询数量与顺序与结构塌缩联系起来。
• 利用自指机器与输入特定建议，刻画查询顺序类，表明在特定条件下其等价于 $\mathrm{P}^{\#P[1]}$ 与 $\mathrm{P}^{\#P:NP}$。
• 依赖 Book (1974)、Hartmanis-Immerman-Sewelson (1983, 1985) 与 Sipser-Yao (1990) 的已知结果，以定位查询顺序行为的上下文。
• 分析在对图灵约化封闭的类中，$\leq_m^p$-完备性与 $\leq_T^p$-完备性之间的关系，表明在 NP 的某些闭包中，二者并不总是同时成立或失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 查询两个预言机的顺序是否会影响多项式时间可解问题类？
• RQ2 在多项式层次中，查询顺序是否是计算能力的决定性因素？
• RQ3 在布尔层次中，查询顺序在何种条件下会导致不同的计算能力？
• RQ4 查询顺序类如何与建议类及自指机器相关联？
• RQ5 在所有复杂性类中，$\leq_m^p$-完备性与 $\leq_T^p$-完备性是否总是同时成立或失效？

主要发现

• 在多项式层次中，查询顺序不影响计算能力：对所有 $k, m \geq 0$，有 $\mathrm{P}^{\Sigma_k^p:\Sigma_m^p} = \mathrm{P}^{\Sigma_m^p:\Sigma_k^p}$。
• 在布尔层次中，查询顺序可能产生影响：$\mathrm{P}^{\Sigma_k^p:\Sigma_m^p} \neq \mathrm{P}^{\Sigma_m^p:\Sigma_k^p}$，除非多项式层次发生塌缩。
• 查询数量的塌缩（$\mathrm{P}^{\Sigma_k^p[1]} = \mathrm{P}^{\Sigma_k^p[2]}$）意味着布尔层次的塌缩：$\mathrm{DIFF}_m(\Sigma_k^p) = \mathrm{coDIFF}_m(\Sigma_k^p)$。
• 在正向最终查询限制下，查询顺序类等价于 $\mathrm{P}^{\#P[1]}$ 与 $\mathrm{P}^{\#P:NP}$，从而将其与 $\#P$-闭包联系起来。
• 类 $\mathrm{P}^{\mathrm{NP} \cap \mathrm{coNP} : \mathrm{NP}}$ 精确刻画了 NP 的强非确定性闭包，表明在该类闭包中，$\leq_m^p$-与 $\leq_T^p$-完备性并不总是一致。
• 瓶颈机器可借助带模运算与量词计算的有序查询模型得到完全刻画，从而解决了长期存在的其表征难题。