[论文解读] Limits on Efficient Computation in the Physical World

Scott Aaronson|ArXiv.org|Dec 20, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 213被引用 22

一句话总结

本文通过证明碰撞问题、局部搜索和图同构等关键问题的查询复杂度强下界，确立了量子计算的根本极限，表明即使在有量子建议的情况下，量子算法也无法高效解决NP-完全问题。此外，本文提出了一个量子态的复杂性理论分类，并证明了后选择或历史采样模型并不能带来超越PP的超量子计算能力。

ABSTRACT

More than a speculative technology, quantum computing seems to challenge our most basic intuitions about how the physical world should behave. In this thesis I show that, while some intuitions from classical computer science must be jettisoned in the light of modern physics, many others emerge nearly unscathed; and I use powerful tools from computational complexity theory to help determine which are which.

研究动机与目标

• 通过证明碰撞问题和局部搜索等基本问题的查询复杂度强下界，严格确立量子计算的极限。
• 研究即使在非均匀量子建议态的帮助下，量子计算机是否能以多项式时间高效求解NP-完全问题。
• 提出一个基于复杂性理论的量子态分类，以回应对量子计算物理实现性的质疑。
• 分析是否超越标准量子计算的模型——如允许后选择或采样隐变量历史的模型——能带来超越已知复杂性类的计算优势。
• 确定量子力学原理（包括光速有限性和局域性）是否在空间搜索中保持Grover算法的二次加速。

提出的方法

• 使用关系对偶方法并归约为双变量多项式次数界限，证明了碰撞问题的查询下界为Ω(n^{1/5})。
• 应用迹距离方法和直接积定理，分析带有量子建议的量子搜索，并使用经典预言机模拟量子消息。
• 引入“Sure/Shor分隔器”概念，基于复杂性分类区分物理上可实现的量子态与Shor算法中的量子态。
• 使用带预言机的量子黑箱模型分离量子复杂性类，包括通过后选择证明PostBQP = PP。
• 使用幅值放大和局域性准则对图和网格上的空间搜索进行建模，证明即使在二维空间区域中，Grover加速依然成立。
• 基于无关性与鲁棒性公理定义并分析隐变量理论（如流和薛定谔理论），并研究其计算复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 解决碰撞问题所需的量子算法最少需要多少次查询？这一下界能否超越常数下界？
• RQ2 在非均匀量子建议态的帮助下，量子计算机能否以多项式时间求解NP-完全问题？
• RQ3 是否存在一个基于复杂性理论的标准——例如“Sure/Shor分隔器”——可区分物理上可实现的量子态与大规模量子算法中的量子态？
• RQ4 光速有限性或空间局域性是否会影响Grover算法在搜索空间数据库中的二次加速？
• RQ5 允许采样整个隐变量历史的模型是否能比标准量子计算机计算更多问题？若能，其与已知复杂性类的关系如何？

主要发现

• 任何解决碰撞问题的量子算法都至少需要Ω(n^{1/5})次查询，解决了长期悬而未决的问题，意味着无法通过黑箱方式实现对密码哈希函数的量子加速。
• 相对于一个预言机，即使有量子建议，量子计算机也无法在多项式时间内求解NP-完全问题，表明NP不包含于BQP/qpoly。
• 在n维超立方体上寻找局部最小值，量子算法需要Ω(2^{n/4}/n)次查询，该结果也导出了局部搜索的新经典下界。
• 总布尔函数的量子查询复杂度被限制在O(Q^6)以内，其中Q为证书复杂度，建立了量子与经典复杂性之间的紧密关系。
• 后选择在量子计算中产生复杂性类PostBQP，其等于PP，为PP关于交集的封闭性提供了新的基于量子的证明。
• 允许采样整个隐变量历史的模型仅比标准量子计算稍强，且其计算能力不超过PP，表明此类模型存在根本性限制。