[论文解读] Approximate equivalence of actions

Andreas Næs Aaserud, Sorin Popa|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文引入并研究了群作用在概率空间上的弱、近似及基于超积的共轭与轨道等价概念，证明了强遍历性及某些上同调条件在这些等价关系下保持不变。研究证明，对于无性质(T)的非阿贝尔群，存在连续统多个非弱轨道等价的作用；且轨道等价超刚性蕴含近似轨道等价超刚性，将刚性结果推广至更弱的等价关系。

ABSTRACT

We consider several weaker versions of the notion of conjugacy and orbit equivalence of measure preserving actions of countable groups on probability spaces, involving equivalence of the ultrapower actions and asymptotic intertwining conditions. We compare them with the other existing equivalence relations between group actions, and study the usual type of rigidity questions around these new concepts (superrigidity, calculation of invariants, etc).

研究动机与目标

• 开发并分析群作用的弱、近似及基于超积的共轭与轨道等价概念。
• 研究在这些较弱等价关系下，哪些动力系统与上同调不变量保持不变。
• 证明对于强遍历作用，轨道等价超刚性蕴含近似轨道等价超刚性。
• 确定存在许多非共轭但近似共轭的作用，特别是针对具有无限阿贝尔商群的群。
• 厘清不同共轭层次之间的关系：共轭、近似共轭、ω-共轭与弱共轭。

提出的方法

• 利用自由超滤子 ω 的超积构造 ω-共轭与 ω-轨道等价，推广经典共轭与轨道等价概念。
• 将近似共轭（app-共轭）定义为在概率空间之间存在一列同构，其渐近地交错群作用。
• 应用超幂框架，关联交叉积冯诺依曼代数中 1-上循环与 2-上边界的形式，特别是通过边界映射 ∂: U(A)^Γ → B²(σ)。
• 通过拓扑与泛函分析论证，建立以下三个条件的等价性：Z¹(σ)^ω = Z¹(σ^ω)，B²(σ) 在 Z²(σ) 中闭合，以及 ∂ 是开映射。
• 利用波兰群结构与强算子拓扑分析边界映射的收敛性与开性。
• 借助上同调理论与冯诺依曼代数理论的结果，特别关注强遍历作用与性质(T)群的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 成本、L²-Betti 数、共轭刚性与相对 Haagerup 性质是否为弱轨道等价（weak-OE）不变量？
• RQ2 对于具有无限阿贝尔商群的群，是否存在连续统多个非共轭但近似共轭的作用？
• RQ3 对于性质(T)群，app-共轭是否等价于共轭？对于非-(T)群，是否存在非共轭但 app-共轭的作用？
• RQ4 对于性质(T)群，ω-共轭是否严格弱于共轭，或是否与之重合？
• RQ5 轨道等价超刚性是否蕴含强遍历作用下的近似轨道等价超刚性？

主要发现

• 成本与 L²-Betti 数是 weak-OE 不变量，共轭刚性与相对 Haagerup 性质亦然。
• 对于任意非阿贝尔且无性质(T)的群 Γ，存在至少两个非弱轨道等价的自由遍历保测度作用，从而蕴含存在无穷多个非弱轨道等价的作用。
• 若群 Γ 具有无限阿贝尔商群，则其存在连续统多个非共轭但全部近似共轭的作用。
• 对于性质(T)群，app-共轭与共轭重合，表明在此情形下具有强刚性。
• 轨道等价超刚性蕴含强遍历作用下同时具有近似轨道等价超刚性与 ω-轨道等价超刚性。
• 通过拓扑与上同调论证，确立了 Z¹(σ)^ω = Z¹(σ^ω)、B²(σ) 在 Z²(σ) 中闭合，以及边界映射 ∂ 开映射三者之间的等价性。