[论文解读] On the fundamental group of II_1 factors and equivalence relations arising from group actions

Sorin Popa, Stefaan Vaes|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文研究了由自由遍历保测度群作用产生的II₁因子和共轭等价关系的基本群。结果表明，对于某些群（如$\Gamma^{*\infty}*\mathbb{Z}$），可实现的基本群集合包含$\mathbb{R}_+$、所有可数子群，以及任意Hausdorff维数在(0,1)内的不可数子群。当$\Gamma*\Lambda$中一个群为ICC群且具有Kazhdan性质(T)时，基本群为平凡群，且本文通过剩余有限性质(T)群中非交换FC-核的中心序列构造了McDuff因子。

ABSTRACT

Given a countable group G, we consider the sets S_factor(G), S_eqrel(G), of subgroups F of the positive real line for which there exists a free ergodic probability measure preserving action G on X such that the fundamental group of the associated II_1 factor, respectively orbit equivalence relation, equals F. We prove that if G is the free product of Z and infinitely many copies of a non-trivial group Γ, then S_factor(G) and S_eqrel(G) contain R_+ itself, all of its countable subgroups, as well as uncountable subgroups whose log can have any Hausdorff dimension in the interval (0,1). We then prove that if G=Γ*Λ, with Γ, Λfinitely generated ICC groups, one of which has property (T), then S_factor(G)=S_eqrel(G)={1}. We also show that there exist II_1 factors M such that the fundamental group of M is R_+, but the associated II_\infty factor M tensor B(l^2) admits no continuous trace scaling action of R_+.

研究动机与目标

• 确定通过可数群$G$的自由遍历保测度作用可实现的基本群集合$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$和$\mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G)$。
• 探讨群论性质（如可乘性、性质(T)、剩余有限性及FC-核结构）如何影响相关II₁因子和等价关系的基本群。
• 构造具有$\mathbb{R}_+$基本群的II₁因子例子，这些因子在其放大形式上不允许可持续迹缩放作用。
• 建立基本群为平凡或可数的条件，尤其针对具有性质(T)的ICC群的乘积。

提出的方法

• 通过群作用和冯诺依曼代数技术分析群测度空间II₁因子$M = L^\infty(X) \rtimes G$的基本群$\mathcal{F}(M)$。
• 利用中心化子和有限指数子代数研究$M \cap B^\prime$的结构，并应用[21]中的性质(T)结果，推导出$\mathcal{F}(M)$的可数性。
• 通过投影$\chi_{s\Gamma_n}$和$ L(\Gamma)$中的酉算子$u_{sh^{-1}s^{-1}}$构造$M$中的中心序列$v_{h_n}$，确保$\tau(v_{h_n}) = 0$且$\| [\chi_{g\Gamma_k}, v_{h_n}] \|_2 \to 0$当$n \to \infty$。
• 利用陪集投影作用$\Gamma \curvearrowright \varprojlim \Gamma/\Gamma_n$，实现自由遍历保测度作用，使得对充分大的$n$有$\Gamma_n \subset \operatorname{C}_\Gamma(h)$，从而支持中心序列的构造。
• 应用[21, 定理A.1]中的判别准则：若对有限指数子代数$B$有$M \cap B^\prime \subset B$且$B$具有性质(T)，则$\mathcal{F}(M)$为可数。
• 利用$\Gamma_f \cap \Gamma_n$中存在非交换有限指数子群的事实，确保$v_{h_n}$和$v_{h_n'}$为满足$\tau(v_{h_n}v_{h_n'}v_{h_n}^*v_{h_n'}^*) = 0$的中心序列，从而推出$M$为McDuff因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些可数群$G$，集合$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$包含$\mathbb{R}_+$以及任意Hausdorff维数$\alpha \in (0,1)$的不可数子群？
• RQ2 当$G = \Gamma * \Lambda$且$\Gamma, \Lambda$为ICC群，其中一个具有性质(T)时，$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G) = \{\{1\}\}$的条件是什么？
• RQ3 是否存在II₁因子$M = L^\infty(X) \rtimes \mathbb{F}_\infty$满足$\mathcal{F}(M) = \mathbb{R}_+$，但其$M \overline{\otimes} B(\ell^2(\mathbb{N}))$不允许可持续迹缩放作用？
• RQ4 当性质(T)群$\Gamma$的FC-核满足什么条件时，可通过拟有限作用构造McDuff因子，且$[\Gamma_f, \mathcal{Z}(\Gamma_f)] = \infty$起何作用？
• RQ5 群$\Gamma$中的中心化子和有限指数子群如何影响$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$的基本群？

主要发现

• 当$G = \Gamma^{*\infty}*\mathbb{Z}$且$\Gamma \neq 1$时，集合$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G)$和$\mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G)$包含$\mathbb{R}_+$、$\mathbb{R}_+$的所有可数子群，以及任意Hausdorff维数$\alpha \in (0,1)$的不可数子群。
• 存在II₁因子$M = L^\infty(X) \rtimes \mathbb{F}_\infty$满足$\mathcal{F}(M) = \mathbb{R}_+$，使得$M \overline{\otimes} B(\ell^2(\mathbb{N}))$不允许可持续迹缩放作用。
• 若$G = \Gamma * \Lambda$，其中$\Gamma, \Lambda$为有限生成的ICC群，且其中一个具有Kazhdan性质(T)，则$\mathscr{S}_{\text{factor}}(G) = \mathscr{S}_{\text{eqrel}}(G) = \{\{1\}\}$。
• 若性质(T)群$\Gamma$满足$\mathcal{Z}(\Gamma)$在$\Gamma_f$中为有限指数，则任意$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$的基本群为可数。
• 若$\Gamma$为剩余有限群且$[\Gamma_f, \mathcal{Z}(\Gamma_f)] = \infty$，则$\Gamma$存在自由遍历拟有限保测度作用，使得$L^\infty(X) \rtimes \Gamma$为McDuff因子。
• 通过投影$\chi_{s\Gamma_n}$和酉算子$u_{sh^{-1}s^{-1}}$构造中心序列$v_{h_n}$，可保证$\| [\chi_{g\Gamma_k}, v_{h_n}] \|_2 \to 0$且$\tau(v_{h_n}) = 0$，当$n$充分大时$\Gamma_f \cap \Gamma_n$为非交换群，从而推出$M$为McDuff因子。