[论文解读] Arthur's multiplicity formula for even orthogonal and unitary groups

Rui Chen, Jialiang Zou|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Advanced Algebra and Geometry参考文献 42被引用 5

一句话总结

本文通過θ對應，建立了數體上偶正交群與酉群的自動形式離散譜之一般部分的Arthur重數公式，並進一步描述了F-秩至多為一的群的完整離散譜。透過從典型群或擬分裂酉群提升表示，並證明局部θ包與標準L-包一致，作者實現了一種不依賴額外選擇的全局分類。

ABSTRACT

Let G be an even orthogonal or unitary group over a number field. Based on the same observation used in arXiv:1705.10106, we prove the Arthur's multiplicity formula for the generic part of the automorphic discrete spectrum of G by using the theta lift. We also consider a class of non-generic A-parameters and obtain a multiplicity formula in this case. In particular, we obtain a description of the full automorphic discrete spectrum of even orthogonal or unitary groups with Witt index less or equal to one.

研究动机与目标

• 建立數體上偶正交與酉群的自動形式離散譜之一般部分的Arthur重數公式。
• 將此結果推廣至F-秩≤1之此類群的完整自動形式離散譜描述。
• 證明所得到的重數公式不依賴θ提升過程中所選用的輔助群之選擇。
• 證明針對一般參數的局部θ包與標準L-包一致，從而驗證全球分類中的一個關鍵局部組分。

提出的方法

• 利用θ對應，將較大典型群或擬分裂酉群的自動形式離散譜轉移到偶正交或酉群上。
• 採用Gan與Ichino的全局方法，並透過局部分析加以增強，以克服單一Witt塔提升的限制。
• 應用Prasad的猜想與歸納原理，證明一類廣泛的一般參數之局部包等價性。
• 使用全局論證將局部比較推廣至剩餘情形，確保所有位置的一致性。
• 依賴局部域結構與Galois作用，構造足夠多的離散譜中的不可約表示。
• 透過特徵理論與Galois-equivariant構造，確立一般A-參數之θ包等於標準L-包。

实验结果

研究问题

• RQ1 θ提升方法是否能提供偶正交與酉群之自動形式離散譜的完整且獨立的描述？
• RQ2 針對一般參數的局部θ包是否能在局部Langlands對應中識別為標準L-包？
• RQ3 所得到的重數公式是否不依賴提升過程中所選用的輔助群之選擇？
• RQ4 該方法如何進一步改進，以描述一般部分以外的完整離散譜，特別是針對低F-秩群？

主要发现

• 本文透過從典型群或擬分裂酉群的θ提升，證明了偶正交與酉群之自動形式離散譜的一般部分的Arthur重數公式。
• 對於F-秩≤1的群，透過相同提升方法，明確描述了完整的自動形式離散譜。
• 證明了與一般A-參數相關的局部θ包與標準L-包一致，從而確認了局部Langlands計畫中的一項關鍵預測。
• 所導出的重數公式不依賴輔助群之選擇，此點透過局部-全局相容性與Galois不變性得到驗證。
• 該構造在p^{d_u} - 1 > n時，至少產生(p^{d_u} - 1)/n個不同的不可約表示於離散譜中，確保譜的豐富性。