[论文解读] Symplectic local root numbers, central critical L-values, and restriction problems in the representation theory of classical groups

Wee Teck Gan, Benedict H. Gross+1 more|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 67被引用 301

一句话总结

该论文提出了一套精细化的猜想框架，将辛局部根数、中心临界L值以及经典群到其子群限制中出现的重数一现象联系起来。通过朗兰兹-沃根参数化和沃根L-包，该框架预测：在每个L-包中恰好存在一个极大表示具有唯一的H-不变泛函，且其中心理心L值的非零性通过根数和分量群特征与这种唯一性相关联。

ABSTRACT

We consider several questions about restriction of representations of classical and metaplectic groups over local and global fields to subgroups, extending considerably the scope of the earlier work on $SO(n),SO(n-1)$. This includes Bessel and Fourier-Jacobi models too. We formulate several conjectures about these restriction problems involving root numbers of symplectic representations in the local case, and central critical L-value in the global case. Along the way we prove several results both in number theory and representation theory.

研究动机与目标

• 提出关于经典群到其子群限制中不可约表示的精确局部与全局猜想，特别关注重数一现象。
• 建立中心临界L值非零性与表示中唯一H-不变泛函存在性之间的联系。
• 通过朗兰兹参数与分量群特征，统一并推广关于贝塞尔与傅里叶-雅可比模型的先前猜想。
• 通过根数与L-包几何的结构性定理，将一般限制问题约化为基本情形（dim V - dim W = 0 或 1）。
• 通过夏蒙型簇上的Chow群与自守形式，为其中心理心L值提供上同调与动机解释。

提出的方法

• 利用朗兰兹-沃根参数化，通过韦伊-德利涅群的复L-参数对经典群与挠群的不可约表示进行分类。
• 应用L-参数的辛根数，构造中心化子分量群的区分特征标。
• 提出一个局部猜想：在每个沃根L-包中，恰好存在一个极大表示满足 dim Hom_H(π ⊗ ν̄, ℂ) = 1，其由区分特征标决定。
• 运用马茨什塔姆公式与上同调技巧，将夏蒙簇的自守上同调与表示的重数联系起来。
• 通过非阿基米德局部域上贝塞尔与傅里叶-雅可比模型唯一性定理，将一般限制问题约化为基本情形（dim V - dim W = 0 或 1）。
• 利用夏蒙簇中周期的几何结构，将自守表示的中心临界L值与Chow群上高度配对的非零性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典群的哪些不可约表示在限制到子群H时，会拥有唯一的H-不变泛函？
• RQ2 辛局部根数与分量群特征如何决定沃根L-包中重数一性质？
• RQ3 中心临界L值一阶导数的非零性与非零H-不变泛函存在性之间的确切关系为何？
• RQ4 如何将经典群的限制问题约化为涉及 dim V - dim W = 0 或 1 的基本情形？
• RQ5 上同调与Chow理论构造在夏蒙簇上在多大程度上反映了自守重数与L函数行为？

主要发现

• 论文证明了在几乎所有非阿基米德局部域上，贝塞尔与傅里叶-雅可比模型的 d(π) ≤ 1，从而将问题约化为基本情形。
• 建立了挠群不可约表示通过奇特殊正交群表示分类的理论，推广了库达拉-拉利斯的结果。
• 证明了正交根数的德利涅公式在共轭自对偶表示情形下的推广（命题5.2）。
• 以简化形式描述了经典群与酉群的L-参数，如定理8.1所述。
• 局部猜想在不同加法特征ψ的选择下保持相容，其依赖模式依情形（正交、埃尔米特、辛、斜埃尔米特）而异。
• 提出一个精炼的全局猜想（猜想27.1）：L′(π₀, R, 1/2) ≠ 0 当且仅当 π_f 以重数一嵌入 CH^{n-1}(Σ(G), ℱ)，且其与 Σ(H) 的高度配对非零。