[论文解读] Basis divisors and balanced metrics

Yanir A. Rubinstein, Gang Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 51被引用 8

一句话总结

本文通过将Fujita–Odaka的代数$δ_m$-不变量识别为Bergman空间上量化Ding泛函的强制性阈值，建立了其解析解释，从而刻画了平衡度量的存在性。关键结果为$δ_m(L) = \delta_m^A(L)$，直接将代数稳定性不变量与解析度量联系起来。

ABSTRACT

Using log canonical thresholds and basis divisors Fujita--Odaka introduced purely algebro-geometric invariants $δ_m$ whose limit in $m$ is now known to characterize uniform K-stability on a Fano variety. As shown by Blum-Jonsson this carries over to a general polarization, and together with work of Berman, Boucksom, and Jonsson, it is now known that the limit of these $δ_m$-invariants characterizes uniform Ding stability. A basic question since Fujita-Odaka's work has been to find an analytic interpretation of these invariants. We show that each $δ_m$ is the coercivity threshold of a quantized Ding functional on the $m$-th Bergman space and thus characterizes the existence of balanced metrics. This approach has a number of applications. The most basic one is that it provides an alternative way to compute these invariants, which is new even for $\mathbb{P}^n$. Second, it allows us to introduce algebraically defined invariants that characterize the existence of Kähler-Ricci solitons (and the more general $g$-solitons of Berman-Witt Nyström), as well as coupled versions thereof. Third, it leads to approximation results involving balanced metrics in the presence of automorphisms that extend some results of Donaldson.

研究动机与目标

• 为Fujita–Odaka引入的代数$δ_m$-不变量提供一个解析解释，这些不变量已知可刻画一致K-稳定性。
• 弥合代数稳定性不变量与解析度量（尤其是平衡度量和Kähler–Ricci孤立子）之间的鸿沟。
• 将框架扩展至扭曲和耦合的典型度量，包括$g$-孤立子和耦合Kähler–爱因斯坦度量。
• 为$δ_m$-不变量的代数计算提供一种计算上更易处理的替代方法，特别是在此前未知的$\mathbb{P}^n$等情形下。
• 通过量化泛函的强制性，统一分析与代数方法在稳定性研究中的应用，借助Yau–Tian–Donaldson对应关系。

提出的方法

• 在第$m$个Bergman空间$\mathcal{B}_m$上定义量化Ding泛函$F_m^\theta(\varphi)$，将其推广至有限维情形的古典Ding泛函。
• 将解析$\delta_m^A(L)$-不变量定义为量化Ding泛函$F_m^{\theta,\delta}$的强制性阈值，并证明$\delta_m^A(L) = \delta_m(L)$。
• 利用Darvas–Rubinstein的凸性原理与Berndtsson的拟凸延拓定理，将$F_m^{\theta,\delta}$的强制性与涉及$\theta$-当前的指数权重的可积性联系起来。
• 通过多圆柱中的局部模型计算，利用Lelong数与沿除子的零点阶数，建立某些权重函数的$L^2$-范数的下界。
• 应用$klt$当前与奇异度量的理论，将结果推广至奇异极化与扭曲度量。
• 证明$(\theta,\delta)$-平衡度量的存在性等价于$\delta < \delta_m(L;\theta)$，且在唯一情形下等号成立意味着严格不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数$δ_m$-不变量能否通过量化泛函的强制性，以解析方式解释？
• RQ2 在第$m$个Bergman空间上，量化Ding泛函的强制性阈值是否对应于平衡度量的存在性？
• RQ3 该框架能否扩展至使用代数定义的不变量来刻画Kähler–Ricci孤立子与$g$-孤立子？
• RQ4 在存在自同构或奇异度量时，$δ_m$-不变量的行为如何？能否通过平衡度量近似？
• RQ5 是否存在一个统一的分析-代数框架，将稳定性、典型度量的存在性与平衡度量在极化情形下统一起来？

主要发现

• 作为第$m$个Bergman空间上量化Ding泛函强制性阈值定义的解析$\delta_m^A(L)$-不变量，与代数$\delta_m(L)$-不变量完全一致。
• 第$m$级$\theta$-平衡度量的存在性等价于$\delta_m(L;\theta) \geq 1$，且唯一性蕴含$\delta_m(L;\theta) > 1$。
• 当$\delta = 1$时，泛函$F_m^\theta$是强制的当且仅当$\delta_m(L;\theta) > 1$，这刻画了$\theta$-平衡度量的存在性。
• 该框架可推广至$g$-孤立子与耦合度量，提供刻画此类典型度量存在性的代数不变量。
• 该方法为$δ_m$-不变量提供了新的计算途径，甚至在以往难以处理的情形（如$\mathbb{P}^n$）中也适用，现可通过解析阈值进行计算。
• 结果可推广至$klt$当前与奇异度量，将$δ_m$-不变量的适用范围从光滑极化推广至更一般情形。