[论文解读] Continuity of delta invariants and twisted Kähler--Einstein metrics

Kewei Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 44被引用 9

一句话总结

本文建立了大锥面上的delta不变量的连续性，并引入了一个与Moser–Trudinger不等式最优指数相关的解析delta不变量。证明了该解析不变量在Kähler锥上连续变化，从而得出最大Ricci下确界的连续性。主要结果将统一的Yau–Tian–Donaldson定理推广至超越上同调类，表明当且仅当delta不变量大于1时，存在扭曲的Kähler–Einstein度量，将先前在极化情形下的结果推广至非极化情形。

ABSTRACT

We show that delta invariant is a continuous function on the big cone. We will also introduce an analytic delta invariant and show its continuity in the Kähler cone, from which we deduce the continuity of the greatest Ricci lower bound. Then building on the work Berman-Boucksom-Jonsson, we obtain a uniform Yau-Tian-Donaldson theorem for twisted Kähler-Einstein metrics in general Kähler classes.

研究动机与目标

• 将扭曲Kähler–Einstein度量的Yau–Tian–Donaldson对应关系推广至超越上同调类，超越经典极化情形。
• 通过Moser–Trudinger不等式中的最优指数定义并研究一个解析delta不变量。
• 证明代数delta不变量在大锥面上的连续性，以及解析delta不变量在Kähler锥上的连续性。
• 通过变分方法建立超越类中扭曲Kähler–Einstein度量的统一Yau–Tian–Donaldson定理。

提出的方法

• 将解析delta不变量δ^A(ξ)定义为满足某类加权L1-估计在拟plurisubharmonic势空间上一致成立的最大λ > 0。
• 采用Berman–Boucksom–Jonsson的变分方法，将扭曲Ding泛函的强制性与解析delta不变量联系起来。
• 应用Demailly的正则化方法，并在更大的E^1空间（拟plurisubharmonic函数空间）中处理奇异度量。
• 通过分析Kähler类的小扰动下对数分歧数与体积函数的行为，证明代数delta不变量的连续性。
• 建立δ(ξ) > 1与扭曲Kähler–Einstein方程Ric(ω) = ω + α（α ≥ 0）存在解之间的等价性。
• 将框架推广至具有klt当前θ的θ-扭曲情形，将结果扩展至对数Fano与边缘度量情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 代数delta不变量能否连续地延拓至超越Kähler类，并在大锥面上成为连续函数？
• RQ2 通过Moser–Trudinger不等式定义的解析delta不变量是否在Kähler锥上连续变化，并表征扭曲Kähler–Einstein度量的存在性？
• RQ3 统一的Yau–Tian–Donaldson定理是否对超越上同调类中的扭曲Kähler–Einstein度量成立？
• RQ4 结果能否推广至θ-扭曲Kähler–Einstein方程的情形，其中θ为klt当前或光滑半正当前与除子之和？
• RQ5 在扭曲情形下，解析delta不变量δ^A(ξ)与代数delta不变量δ(ξ)之间存在何种关系？

主要发现

• 代数delta不变量δ(ξ)在大锥面上连续，其定义被推广至超越有理类。
• 解析delta不变量δ^A(ξ)在Kähler锥上连续变化，且由Moser–Trudinger不等式中的最优指数表征。
• 最大Ricci下确界在Kähler锥上连续，作为解析delta不变量连续性的推论。
• 对于满足α ≥ 0的Kähler类ξ，存在扭曲Kähler–Einstein度量当且仅当δ(ξ) > 1，且当δ(ξ) > 1时解唯一。
• 统一的Yau–Tian–Donaldson定理在超越上同调类中成立：Ric(ω) = ω + α存在解当且仅当δ(ξ) ≥ 1（存在性），当且仅当δ(ξ) > 1（唯一性）。
• 结果推广至具有klt当前θ的θ-扭曲情形，其中δ_θ(ξ) > 1当且仅当存在Ric(ω) = ω + 2πθ的解。