[论文解读] Between the stochastic six vertex model and Hall-Littlewood processes

Alexei Borodin, Alexey Bufetov+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用 25

一句话总结

本文建立了随机六顶点模型在象限内沿下右路径的联合高度函数与Hall–Littlewood过程中分拆的第一列长度之间的分布等价性。通过代数Bethe ansatz和无限体积极限，证明了在某一边界轴的连续极限下，高度函数场对应于RSK型马尔可夫动力下演化的分拆的第一列，统一了两个可积的概率系统。

ABSTRACT

We prove that the joint distribution of the values of the height function for the stochastic six vertex model in a quadrant along a down-right path coincides with that for the lengths of the first columns of partitions distributed according to certain Hall-Littlewood processes. In the limit when one of the quadrant axes becomes continuous, we also show that the two-dimensional random field of the height function values has the same distribution as the lengths of the first columns of partitions from certain ascending Hall-Littlewood processes evolving under a Robinson-Schensted-Knuth type Markovian evolution.

研究动机与目标

• 将已知的随机六顶点模型与Hall–Littlewood过程之间的一点分布等价性扩展到沿下右路径的多点联合分布。
• 建立随机六顶点模型沿任意下右格路的高度函数与一般Hall–Littlewood过程中分拆第一列长度之间的普遍分布匹配。
• 证明在象限某一边界轴的连续极限下，随机六顶点模型的高度函数场对应于RSK分布的上升型Hall–Littlewood过程中第一列的边缘分布。
• 证明在连续轴极限下高度函数值的马尔可夫演化与上升型Hall–Littlewood过程中RSK动力的投影一致。

提出的方法

• 利用量子仿射 $\mathfrak{sl}_2$ 的代数Bethe ansatz及其极限 $t$-玻色代数，作者推导出无限体积极限，将随机六顶点模型与Hall–Littlewood过程联系起来。
• 利用 [BP1] 中高度函数指数矩的显式积分表示，作者将这些矩与上升型Hall–Littlewood过程中第一列长度的矩进行匹配。
• 通过二进制字符串 $S$ 和 $T$ 构造分拆序列的支持，该方法定义了编码高度函数值联合分布的斜平面分拆。
• 应用 [BufP] 和 [BP2] 中定义的上升型Hall–Littlewood过程中RSK型马尔可夫动力，作者将此动力投影到第一列长度上。
• 证明投影后的动力与随机六顶点模型在连续轴极限下出现的马尔可夫链完全一致。
• 借助矩生成函数的等价性与分布的唯一性，作者建立了两个模型之间完整的分布恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机六顶点模型沿下右路径的高度函数的联合分布是否与Hall–Littlewood过程中第一列长度的联合分布一致？
• RQ2 在某一边界轴连续极限下，随机六顶点模型的高度函数场是否可解释为RSK分布的上升型Hall–Littlewood过程中第一列的边缘分布？
• RQ3 在连续极限下沿竖直截面的高度函数值的马尔可夫演化是否等价于RSK动力在上升型Hall–Littlewood过程上的投影？
• RQ4 该随机六顶点模型与Hall–Littlewood过程之间的联系能否通过杨-巴克斯特定理解的解扩展到更高列？

主要发现

• 在象限内沿任意下右格路的随机六顶点模型的高度函数的联合分布，与某一类一般Hall–Littlewood过程中（平移后的）第一列长度的联合分布完全相同。
• 当象限的某一边界轴趋于连续时，高度函数值的二维随机场的分布与在RSK型马尔可夫动力下演化的上升型Hall–Littlewood过程中第一列边缘分布相同。
• 在连续极限下沿竖直截面控制高度函数值演化的马尔可夫链，与RSK动力在上升型Hall–Littlewood过程上的投影完全一致。
• 通过指数矩的匹配技术确认了分布等价性，即使此前非共线点的显式公式尚不可得。
• 该结果在随机顶点模型与Hall–Littlewood过程之间建立了深刻联系，通过共同的代数结构统一了两个不同的可积概率系统。
• 本文未解决的问题是：Hall–Littlewood过程中分拆的更高列是否能通过杨-巴克斯特定理解的解独立解释，提示了未来研究的方向。