[论文解读] Lectures on Integrable probability: Stochastic vertex models and symmetric functions

Alexei Borodin, Leonid Petrov|arXiv (Cornell University)|May 4, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 43被引用 35

一句话总结

本文通过来自杨–巴克斯方程的对称有理函数，为象限中随机高自旋六顶点模型的多点 q-矩和 q-相关函数建立了积分公式。关键贡献是一个统一框架，可退化为 ASEP、q-TASEP 和随机 q-玻色子等已知模型，且通过这些函数的偏斜柯西恒等式推导出显式的围道积分表示。

ABSTRACT

We consider a homogeneous stochastic higher spin six vertex model in a quadrant. For this model we derive concise integral representations for multi-point q-moments of the height function and for the q-correlation functions. At least in the case of the step initial condition, our formulas degenerate in appropriate limits to many known formulas of such type for integrable probabilistic systems in the (1+1)d KPZ universality class, including the stochastic six vertex model, ASEP, various q-TASEPs, and associated zero range processes. Our arguments are largely based on properties of a family of symmetric rational functions (introduced in arXiv:1410.0976) that can be defined as partition functions of the higher spin six vertex model for suitable domains; they generalize classical Hall-Littlewood and Schur polynomials. A key role is played by Cauchy-like summation identities for these functions, which are obtained as a direct corollary of the Yang-Baxter equation for the higher spin six vertex model. These are lecture notes for a course given by A.B. at the Ecole de Physique des Houches in July of 2015. All the results and proofs presented here generalize to the setting of the fully inhomogeneous higher spin six vertex model, see arXiv:1601.05770 for a detailed exposition of the inhomogeneous case.

研究动机与目标

• 推导随机高自旋六顶点模型的 q-矩和 q-相关函数的显式积分表示。
• 建立连接 (1+1)d KPZ 类中可积概率系统的统一框架。
• 通过作为顶点模型配分函数出现的对称有理函数，推广霍尔–利特尔伍德和舒尔多项式。
• 证明 ASEP、q-TASEP 和随机 q-玻色子等已知模型可作为高自旋顶点模型的退化形式出现。
• 系统地推导基于杨–巴克斯方程导出的柯西型恒等式的矩公式。

提出的方法

• 模型定义在象限上，其随机高自旋顶点权重满足杨–巴克斯方程。
• 在特定边界条件下，引入对称有理函数作为模型的配分函数。
• 作为杨–巴克斯方程的直接推论，推导出这些函数的偏斜柯西恒等式。
• 利用这些恒等式，构建 q-矩和 q-相关函数的围道积分表示。
• 该方法涉及解析延拓和围道变形，包括将围道拖过无穷远点，将负向围道转换为正向围道。
• 通过取适当参数极限（如 J=1 和 s²=−ϵ）实现向已知模型的退化，对应 q-玻色子过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以闭式表达随机高自旋六顶点模型中高度函数的多点 q-矩？
• RQ2 对称有理函数在统一 (1+1)d KPZ 类中可积概率系统方面起什么作用？
• RQ3 在顶点模型背景下，这些函数的柯西型恒等式如何从杨–巴克斯方程中导出？
• RQ4 在何种极限下，所推导的公式退化为 ASEP、q-TASEP 和随机 q-玻色子的已知结果？
• RQ5 围道变形和嵌套积分围道在推导矩公式中的意义是什么？

主要发现

• 本文推导出高度函数 q-矩的显式积分公式：$\mathbb{E}^\textnormal{q-Boson}\prod_{i=1}^{\ell}q^{\mathfrak{h}_{\nu}(x_{i})} = (-1)^{\ell}q^{\frac{\ell(\ell-1)}{2}}\oint\cdots\oint\prod_{\alpha<\beta}\frac{w_{\alpha}-w_{\beta}}{w_{\alpha}-qw_{\beta}}\prod_{i=1}^{\ell}\frac{e^{(1-q)tw_{i}}}{w_{i}(1+w_{i})^{x_{i}-1}}$，在 $x_1 \geq \cdots \geq x_\ell \geq 1$ 且 $t \geq 0$ 时成立。
• q-玻色子过程的公式与 [BC14] 和 [BCS14] 中的结果一致，验证了与先前工作的相容性。
• 一般高自旋顶点模型的矩公式由包含 $w_i$-相关有理函数和围绕 $s$ 的 $q$-嵌套围道 ${\boldsymbol{\gamma}}^{\scriptscriptstyle+}_{j}[s]$（排除 0 和 $s^{-1}$）的围道积分给出。
• 推导依赖于杨–巴克斯方程的无限体积极限，以获得对称有理函数的偏斜柯西恒等式。
• 对称有理函数推广了霍尔–利特尔伍德和舒尔多项式，其定义为特定边界条件下顶点模型的配分函数。
• 该框架统一了多种 (1+1)d KPZ 模型：在适当的参数极限下，公式退化为 ASEP、q-TASEP 和零通量过程的公式。