[论文解读] (Bi)modules, morphismes et réduction des star-produits: le cas symplectique, feuilletages et obstructions

Martin Bordemann|ArXiv.org|Mar 20, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 66被引用 14

一句话总结

本文通过沿映射的多微分算子，建立了一个用于形变量子化的微分几何框架，证明了当 Atiyah-Molino 类消失时，辛星积在共变子流形上可表示。它通过德拉姆上同调对双模结构进行分类，并识别出与这一拓扑不变量相关的泊松映射量子化的障碍。

ABSTRACT

(Bi)modules, morphisms and reduction of star-products are studied in a framework of multidifferential operators along maps: morphisms deform Poisson maps and representations on functions spaces deform coisotropic maps. If a star-product is representable on a coisotropic submanifold, is is equivalent to a star-product for which the vanishing ideal is a left ideal. If the reduced phase space exists, a star-product with suitable Deligne class is representable and the reduced algebra is the commutant of this module (hence a bimodule). Obstructions to representability to third order are related to the Atiyah-Molino class of the foliation of the coisotropic submanifold, and the same kind of obstructions occurs for the quantisation of a Poisson map between symplectic manifolds. For vanishing Atiyah-Molino class, the representation and morphism problem is solvable.

研究动机与目标

• 通过沿映射的多微分算子，发展 (双) 模、态射与形变量子化中约化作用的几何框架。
• 阐明在辛设定下，星积在共变子流形上可表示的条件，特别是当其为辛星积时。
• 利用 Atiyah-Molino 类识别星积可表示性的拓扑障碍，以及泊松映射量子化的障碍。
• 通过共变子流形的一阶德拉姆上同调，对共变子流形上函数空间的双模结构进行分类。
• 将 Fedosov 方法推广，以分析辛流形之间泊松映射量子化的障碍。

提出的方法

• 使用沿映射的多微分算子形式化，以描述形变量子化中的代数结构。
• 应用共变信条：星积在共变子流形上可表示当且仅当其零化理想是形变代数中的左理想。
• 应用 Fedosov 方法分析泊松映射量子化的障碍。
• 引入并分析与共变子流形相关的辛叶状结构的 Atiyah-Molino 类。
• 通过共变子流形的一阶德拉姆上同调对双模结构进行分类。
• 使用 Deligne 类及星积等价的条件，以确定可表示性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，辛流形上的星积可表示为共变子流形上的微分算子？
• RQ2 Atiyah-Molino 类在阻碍星积在共变子流形上可表示性方面起什么作用？
• RQ3 共变子流形函数空间上的双模结构如何通过几何不变量进行分类？
• RQ4 两个辛流形之间的泊松映射是否总能形变为形变量子化中的代数同态？
• RQ5 量子化泊松映射的拓扑障碍是什么？它们与核丛的辛几何有何关联？

主要发现

• 当且仅当共变子流形上辛叶状结构的 Atiyah-Molino 类消失时，辛星积在共变子流形上可表示。
• 共变子流形函数空间上的双模结构由该子流形的一阶德拉姆上同调群分类。
• 星积可表示性的障碍源于共变子流形的辛叶状结构的 Atiyah-Molino 类。
• 对于辛流形之间的泊松映射，其量子化的障碍由其切映射核的正交丛的辛叶状结构的 Atiyah-Molino 类决定。
• 当 Atiyah-Molino 类消失时，若 Deligne 类满足适当的相容性条件，则泊松映射可被量子化。
• 切触丛的余切丛与复射影空间的示例说明了该理论，尤其在辛约化与 Fedosov 量子化的情境下。