[论文解读] Big mapping class groups with hyperbolic actions: classification and applications

Camille Horbez, Yulan Qing+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用 9

一句话总结

该论文分类了无限类型曲面的大映射类群在何种情况下会存在连续的非初等等距作用于双曲空间，证明此类作用存在当且仅当曲面包含一个有限类型不可移动子曲面。该构造利用了该子曲面所有映射类群平移的曲线图的拟树，从而在有界上同调和 SQ-泛性方面产生应用。

ABSTRACT

We address the question of determining which mapping class groups of infinite-type surfaces admit nonelementary continuous actions on hyperbolic spaces. More precisely, let $\\Sigma$ be a connected, orientable surface of infinite type with tame endspace whose mapping class group is generated by a coarsely bounded subset. We prove that $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ admits a continuous nonelementary action on a hyperbolic space if and only if $\\Sigma$ contains a finite-type subsurface which intersects all its homeomorphic translates. When $\\Sigma$ contains such a nondisplaceable subsurface $K$ of finite type, the hyperbolic space we build is constructed from the curve graphs of $K$ and its homeomorphic translates via a construction of Bestvina, Bromberg and Fujiwara. Our construction has several applications: first, the second bounded cohomology of $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ contains an embedded $\\ell^1$; second, using work of Dahmani, Guirardel and Osin, we deduce that $\\mathrm{Map}(\\Sigma)$ contains nontrivial normal free subgroups (while it does not if $\\Sigma$ has no nondisplaceable subsurface of finite type), has uncountably many quotients and is SQ-universal.

研究动机与目标

• 确定无限类型曲面的映射类群在何种拓扑条件下会存在连续的非初等等距作用于双曲空间。
• 通过曲面中是否存在不可移动的有限类型子曲面来对这些作用进行分类。
• 通过构造的双曲作用建立代数后果——例如 SQ-泛性及正规自由子群的存在性。
• 利用 Bestvina-Bromberg-Fujiwara 的拟树空间构造，将有限类型映射类群技术（例如曲线图、WWPD 性质）推广至无限类型情形。
• 证明在拟紧性和 CB-生成假设下，若不存在此类子曲面，则在任何双曲空间上均不存在连续的非初等作用。

提出的方法

• 将双曲空间 $\mathbb{X}$ 构造为度量空间的拟树，其中各部分为固定有限类型不可移动子曲面 $K$ 的所有 $\mathrm{Map}(\Sigma)$-平移的曲线图。
• 应用 Bestvina-Bromberg-Fujiwara 构造，以确保 $\mathbb{X}$ 是 $\delta$-双曲的，并支持 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 的连续等距作用。
• 利用 Gromov 边界上的离散轨道条件，证明保持 $K$ 的同伦类并在 $K$ 上作用为伪阿诺索夫的元素在 $\mathbb{X}$ 上的作用下满足 WWPD 性质。
• 利用此类 WWPD 元素的存在性，推导出 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 的第二有界上同调中嵌入了一个 $\ell^1$-空间。
• 借助 Dahmani-Guirardel-Osin 的结果，推导出当 $K$ 存在时，$\mathrm{Map}(\Sigma)$ 是 SQ-泛的，并且具有不可数多个商群。
• 利用亏格和端点类型不变量，构造一个满同态 $\Phi: \mathrm{Map}^0(\Sigma) \to \mathbb{Z}^n$ 及其截面，以分析胞腔群的闭包。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无限类型曲面 $\Sigma$ 的何种拓扑条件下，$\mathrm{Map}(\Sigma)$ 会存在连续的非初等等距作用于双曲空间？
• RQ2 从此类双曲作用中可以推导出 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 的哪些代数性质？
• RQ3 曲面 $\Sigma$ 中是否存在不可移动的有限类型子曲面 $K$，如何影响此类作用的存在性？
• RQ4 在无限类型情形下能否实现 WWPD 性质？它对有界上同调意味着什么？
• RQ5 当此类作用存在时，$\mathrm{Map}(\Sigma)$ 的结构后果（如 SQ-泛性或正规自由子群的存在性）是什么？

主要发现

• 映射类群 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 存在连续的非初等等距作用于双曲空间，当且仅当 $\Sigma$ 包含一个与所有其同胚平移相交的有限类型子曲面。
• 当此类不可移动子曲面 $K$ 存在时，所构造的双曲空间 $\mathbb{X}$ 是 $\mathrm{Map}(\Sigma)$-所有平移的 $K$ 的曲线图的拟树。
• 所有保持 $K$ 同伦类并在 $K$ 上作用为伪阿诺索夫的 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 元素，相对于 $\mathbb{X}$ 上的作用均满足 WWPD 性质。
• 由于 WWPD 作用的存在，$\mathrm{Map}(\Sigma)$ 的第二有界上同调中包含一个嵌入的 $\ell^1$-空间。
• 若 $\mathrm{Map}(\Sigma)$ 是 CB-生成的且端空间是拟紧的，则若不存在不可移动的有限类型子曲面，意味着在任何双曲空间上均不存在连续的非初等作用。
• 当此类子曲面存在时，$\mathrm{Map}(\Sigma)$ 是 SQ-泛的，具有不可数多个商群，并且包含非平凡的正规自由子群。