[论文解读] Black Holes and Complexity Classes

Leonard Susskind|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文建立了经典广义相对论在黑洞内部的持久性与量子计算限制之间的深刻联系。证明了若广义相对论能描述黑洞内部长达指数时间——意味着量子线路复杂度线性增长——则PSPACE不可能被包含在BQP/poly中，即具有多项式建议的量子计算机无法在多项式时间内解决所有PSPACE-完全问题。

ABSTRACT

It is not known what the limitations are on using quantum computation to speed up classical computation. An example would be the power to speed up PSPACE-complete computations. It is also not known what the limitations are on the duration of time over which classical general relativity can describe the interior geometry of black holes. What is known is that these two questions are closely connected: the longer GR can describe black holes, the more limited are quantum computers. This conclusion, formulated as a theorem, is a result of unpublished work done by Scott Aaronson and myself which I explain here.

研究动机与目标

• 研究经典广义相对论在黑洞内部持续时间与量子计算能力之间的关联。
• 探讨黑洞系统中量子线路复杂度线性增长是否意味着对量子计算复杂度类的限制。
• 建立一个定理，将关于黑洞几何的引力猜想与关于PSPACE是否包含于BQP/poly的复杂度理论猜想联系起来。
• 证明假设经典广义相对论长期有效，会对量子计算机的能力施加强烈约束。

提出的方法

• 利用规范-重力对偶（AdS/CFT）将爱因斯坦-罗森桥（ERB）的几何结构与相应CFT态的量子计算复杂度联系起来。
• 应用一个猜想：量子态的复杂度随时间线性增长，直至达到其最大值（指数于熵S），对应于ERB的体积。
• 将引力猜想——经典广义相对论尽可能长时间保持有效——转化为复杂度理论陈述：复杂度线性增长直至达到e^S。
• 采用复杂度理论中的非均匀建议框架，特别是BQP/poly，以建模带有附加经典信息的量子计算。
• 推导出一个定理，表明若复杂度在指数时间内持续线性增长，则PSPACE不被包含于BQP/poly中。
• 利用尼尔森的几何复杂度方法来支持复杂度初始线性增长的合理性，尽管完全饱和仍未被证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典广义相对论描述黑洞内部的时间尺度与量子计算机计算能力之间有何关系？
• RQ2 黑洞系统中量子线路复杂度的线性增长是否意味着某些经典问题（PSPACE-完全问题）无法被量子计算机解决？
• RQ3 若假设广义相对论在指数时间内持续有效，是否会对PSPACE与BQP/poly等复杂度类之间的关系构成约束？
• RQ4 爱因斯坦-罗森桥几何与量子线路复杂度之间的对偶性如何限制量子计算的极限？
• RQ5 量子退相干对复杂度增长及黑洞内部经典引力失效的影响是什么？

主要发现

• 若通用量子线路的复杂度随时间线性增长直至达到其最大值（指数于量子比特数），则PSPACE不被包含于BQP/poly中。
• 若经典广义相对论在量子力学允许的范围内尽可能长时间地支配黑洞内部，则意味着量子计算机无法高效解决所有PSPACE-完全问题。
• 如ERB体积增长所暗示的，黑洞系统中复杂度的线性增长，导致一个强有力的复杂度理论约束：PSPACE ⊈ BQP/poly。
• 该结果由萨斯金德与艾伦森合作得出，被表述为一个连接引力物理与计算复杂度的定理。
• 本文表明，长期有效的经典引力假设对量子计算施加了非平凡的限制，表明量子计算机在解决PSPACE-完全问题方面存在根本性局限。
• 尽管复杂度在e^S处完全饱和仍未被证明，但本文通过尼尔森的几何复杂度框架，证明了在非零时间区间内复杂度的线性增长是可证明的。