[论文解读] BMO solvability and the $A_\infty$ condition for second order parabolic operators

Martin Dindoš, Stefanie Petermichl+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文建立了时变系数二阶抛物型算子的有界解的Carleson测度性质与抛物测度的$A_\infty$条件之间的等价性。证明了Dirichlet问题的$L^p$可解性与抛物测度的$A_\infty$性质等价，提出了一项新准则，简化了可解性分析，并允许对问题可解的$p$范围进行定量估计，尤其适用于Carleson-正则系数的算子。

ABSTRACT

We prove that the $A_\infty$ property of parabolic measure for operators in certain time-varying domains is equivalent to a Carleson measure property of bounded solutions. Kircheim, Kenig, Pipher, and T. Toro established this criterion on bounded solutions in the elliptic case, improving an earlier result of Dindos, Kenig and Pipher for solutions with data in BMO. The extension to the parabolic setting requires an approach to the key estimate that primarily exploits the maximum principle. For various classes of parabolic operators, this criterion makes it easier to establish the solvability of the Dirichlet problem with data in $L^p$ for some $p$ (see results of Rivera-Noriega), and also to quantify these results in several aspects.

研究动机与目标

• 建立抛物测度的$A_\infty$性质与二阶抛物型算子有界解的Carleson测度条件之间的联系准则。
• 将椭圆型$A_\infty$-Carleson准则推广至抛物型设置，克服由区域和算子的时间依赖性带来的挑战。
• 为一类具有Carleson-正则系数的抛物型算子提供更简洁的$L^p$可解性证明，包括对$p$的显式定量依赖关系。
• 量化Dirichlet问题可解的$p$范围，特别是追踪反Hölder指数对系数扰动Carleson范数的依赖关系。

提出的方法

• 作者基于构造一族算子$L_s = \partial_t - \mathrm{div}(A_s\nabla\cdot)$的方法，通过在参考算子$L_1$与原始算子$L_0$之间插值实现。
• 在集合$F \subset \Delta_r$上构造锯齿区域，满足$\sigma(F \cap \Delta_r) > \sigma(\Delta_r)/2$，以定义矩阵$A_1$，使其在锯齿区域与$A_2$一致，其余区域与$A_0$一致。
• 该方法依赖于利用[DJk]和[N]中的结果，比较抛物测度$\omega_{L_2}$与$\omega_{L_1}$，证明若$\omega_{L_2} \in B_{1+\delta}$，则$\omega_{L_1} \in B_{1+\delta}$。
• 关键估计利用最大原理与抛物容量技术，控制锥形区域中梯度的$L^2$范数，将其与边界数据的BMO范数联系起来。
• 将Carleson测度条件应用于差值$|A_0 - A_2|$，确保$\delta(X)^{-2-n} \sup_{B_{\delta(X)/2}(X)} |A_0 - A_2|$为Carleson测度，其范数有界于原始Carleson范数$K_0$的倍数。
• 利用反Hölder类的传递性，将$B_{1+\delta}$性质从$L_2$传播至$L_0$，得到$\omega_{L_0} \in B_{1+\delta'}$，其中$\delta'$显式依赖于$n, \lambda, \Lambda, \ell, \|\mu\|_{\mathrm{Carl}}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 抛物测度的$A_\infty$条件是否与时变区域中解的有界解的Carleson测度条件等价？
• RQ2 能否通过$A_\infty$性质建立抛物Dirichlet问题的$L^p$可解性，并对可解的$p$范围进行量化？
• RQ3 系数的Carleson梯度条件是否蕴含对某类$p > 1$的$L^p$可解性？$p$如何依赖于Carleson范数？
• RQ4 如何利用满足Carleson条件的系数扰动，将反Hölder与$A_\infty$性质在算子族中传播？

主要发现

• 抛物测度的$A_\infty$性质与有界解的Carleson测度条件等价，将椭圆型准则推广至抛物型设置。
• 对于满足Carleson梯度条件的系数的算子，$L^p$ Dirichlet问题对所有$p > (1+\delta')/\delta'$可解，其中$\delta' > 0$显式依赖于$n, \lambda, \Lambda, \ell, \|\mu\|_{\mathrm{Carl}}$。
• BMO Dirichlet问题可解，且对连续$f$有估计：$\sup_{\Delta \subset \partial\Omega} \sigma(\Delta)^{-1} \int_{T(\Delta)} |\nabla u|^2 \delta \, dXdt \lesssim \|f\|_{BMO}^2$。
• 可解性阈值$p$对Carleson范数的依赖关系被量化：当$p \to \infty$时$C(p) \to \infty$，表明随着Carleson范数增大，可解$p$的范围缩小。
• 该方法为[Rn]中研究的算子提供了更简洁的$L^p$可解性证明，特别是对时间导数边界具有小$BMO$范数的算子。
• 反Hölder类的传递性使得$B_{1+\delta}$性质可通过$O(\epsilon_0^{-1})$步从$L_2$传播至$L_0$，得到$\omega_{L_0} \in B_{1+\delta'}$，其中$\delta'$显式地由域与强椭圆性参数下界控制。