[论文解读] Bold Feynman diagrams and the Luttinger-Ward formalism via Gibbs measures. Part I: Perturbative approach

Lin Lin, Michael Lindsey|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2018

Theoretical and Computational Physics参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文在吉布斯测度框架下建立了粗略费曼图与朗道-瓦尔德形式化的组合基础，通过严格的图解分解证明了粗略图展开的正确性。研究表明，该展开——作为GW、DMFT和GF2等近似方法的核心——可系统地从两粒子不可约（2PI）图通过最大插入分解导出，为广泛使用的多体物理方法提供了统一且数学严谨的基础。

ABSTRACT

Many-body perturbation theory (MBPT) is widely used in quantum physics, chemistry, and materials science. At the heart of MBPT is the Feynman diagrammatic expansion, which is, simply speaking, an elegant way of organizing the combinatorially growing number of terms of a certain Taylor expansion. In particular, the construction of the `bold Feynman diagrammatic expansion' involves the partial resummation to infinite order of possibly divergent series of diagrams. This procedure demands investigation from both the combinatorial (perturbative) and the analytical (non-perturbative) viewpoints. In Part I of this two-part series, we illustrate how the combinatorial properties of Feynman diagrams in MBPT can be studied in the simplified setting of Gibbs measures (known as the Euclidean lattice field theory in the physics literature) and provide a self-contained explanation of Feynman diagrams in this setting. We prove the combinatorial validity of the bold diagrammatic expansion, with methods generalizable to several types of field theories and interactions. Our treatment simplifies the presentation and numerical study of known techniques in MBPT such as the self-consistent Hartree-Fock approximation (HF), the second-order Green's function approximation (GF2), and the GW approximation. The bold diagrams are closely related to the Luttinger-Ward (LW) formalism, which was proposed in 1960 but whose analytic properties have not been rigorously established. The analytical study of the LW formalism in the setting of Gibbs measures will be the topic of Part II.

研究动机与目标

• 为吉布斯测度设定下的多体微扰论（MBPT）提供一个自包含且数学严谨的处理方式。
• 通过证明其通过最大插入分解为两粒子不可约（2PI）图的分解，建立粗略费曼图展开的组合有效性。
• 将形式化推广至各种场论和相互作用类型，简化现有MBPT方法的分析与数值实现。
• 为第二部分中对朗道-瓦尔德泛函的分析研究奠定基础，解决其存在性与收敛性长期存在的疑虑。

提出的方法

• 使用吉布斯测度（欧几里得晶格场论）形式化MBPT，以高斯测度替代费米子福克空间，以多项式相互作用替代原始形式。
• 引入一种图解分解方法，其中每个粗略图均通过在特定半边对上插入最大截断图，从一个2PI骨架图生成。
• 通过将每个插入图Γ(k)替换为单条边{h₁(k), h₂(k)}，定义骨架图Γs，确保Γs在构造上既是2PI也是1PI。
• 通过迭代压缩与插入提升论证，证明分解的唯一性：任何非最大插入都会与骨架图的2PI结构产生矛盾。
• 使用组合技术证明，粗略展开对应于原始图的部分重求和，其中插入图代表自能贡献。
• 将该框架应用于推导已知近似（如GW、HF、GF2）作为粗略图的子集，表明其形式上的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在简化场论设定下，使用组合方法严格证明粗略费曼图展开的合理性？
• RQ2 朗道-瓦尔德形式化在2PI与最大插入分解下的精确图解结构是什么？
• RQ3 粗略图中的部分重求和过程能否通过图解恒等式，系统地从原始微扰论推导而出？
• RQ4 该形式化能否推广至不同类型相互作用与场论，同时保持展开的有效性？
• RQ5 何种组合条件可确保粗略图分解的唯一性与一致性？

主要发现

• 粗略图展开具有组合有效性：每个粗略图均可唯一地通过在2PI骨架图上插入最大截断图生成。
• 该构造确保生成的骨架图既为1PI也为2PI，且由于最大性与无重叠约束，无法再进行进一步插入。
• 该分解具有唯一性：任何尝试插入大于最大插入图的图都会与骨架图的2PI性质产生矛盾。
• 该方法为GW、DMFT和GF2等广泛使用的近似方法提供了严格基础，可将其视为粗略图的子集。
• 该框架可推广至各种场论与相互作用类型，实现微扰法与自洽方法的统一处理。
• 该结果在图解场论与泛函分析之间建立了桥梁，为第二部分中对朗道-瓦尔德泛函的分析研究奠定了基础。