[论文解读] Bounds on Codes with Locality and Availability

S. B. Balaji, P. Vijay Kumar|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Advanced Data Storage Technologies参考文献 18被引用 3

一句话总结

本论文针对通过校验矩阵行支撑正交性定义的严格 $t$-可用性码，推导出更紧的码率与最小距离界。针对 $t=3$ 提出一种贪心算法，针对一般 $t$ 提出基于矩阵转置的方法，相较以往工作获得更优的码率界。此外，提出两种通用二元码构造方法，实现码率超过 $\frac{r}{r+t}$，在分布式存储系统中有应用价值。

ABSTRACT

In this paper we investigate bounds on rate and minimum distance of codes with $t$ availability. We present bounds on minimum distance of a code with $t$ availability that are tighter than existing bounds. For bounds on rate of a code with $t$ availability, we restrict ourselves to a sub-class of codes with $t$ availability called codes with strict $t$ availability and derive a tighter rate bound. Codes with strict $t$ availability can be defined as the null space of an $(m imes n)$ parity-check matrix $H$, where each row has weight $(r+1)$ and each column has weight $t$, with intersection between support of any two rows atmost one. We also present two general constructions for codes with $t$ availability.

研究动机与目标

• 推导具有 $t$-可用性的码的码率与最小距离的更紧界，尤其针对具有严格 $t$-可用性的码的子类。
• 通过利用校验矩阵及其转置的结构特性，改进 $(n,k,r,t)_{sa}$ 码的现有码率界。
• 提出适用于二元码的通用构造方法，实现高于已知 $\frac{r}{r+t}$ 界的码率。
• 探讨正交数组与拉丁方在构造具有严格 $t$-可用性与最优局部性的码中的作用。
• 提供依赖于域大小与不依赖于域大小的最小距离界，其紧度优于文献中已有结果。

提出的方法

• 提出一种贪心算法，通过迭代选择重叠最小的校验行，以界定 $(n,k,r,3)_{sa}$ 码的码率。
• 利用校验矩阵及其转置的秩，并结合支撑集的正交性，推导出一般 $t$ 情况下 $(n,k,r,t)_{sa}$ 码的码率界。
• 提出一种基于正交拉丁方与集合划分的递归构造方法，用于构建具有严格 $t$-可用性的码。
• 设计第二种构造方法，利用满足有界原像大小与成对交集约束的函数 $f_i: X \to Y$，在 $\mathbb{F}_2$ 上定义校验矩阵。
• 当 $r+1 = q = p^m$ 时，利用有限几何中的关联结构（如 $\mathbb{F}_{q^g}$ 中的直线与点）实例化构造。
• 构造形如 $[I \mid H]$ 的校验矩阵，以支持信息符号的可用性，适用于分布式存储场景。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何比现有结果更紧地界定具有严格 $t$-可用性的码的码率？
• RQ2 具有 $t$-可用性的码的最小距离是多少？能否独立于域大小进行界定？
• RQ3 能否构造出码率高于已知 $\frac{r}{r+t}$ 界的 $t$-可用性码？
• RQ4 正交拉丁方与组合设计在构造具有严格 $t$-可用性的码中起什么作用？
• RQ5 如何系统化地构造具有 $t$-可用性的二元码，同时保持局部性与可用性特性？

主要发现

• 通过贪心算法推导出更紧的 $(n,k,r,3)_{sa}$ 码码率界，优于文献 [14] 中的结果。
• 对于一般 $t$，利用校验矩阵转置推导出新码率界，对严格 $t$-可用性码而言，其紧度优于 [14] 中的界。
• 推导出依赖于域大小与不依赖于域大小的最小距离界，两者均优于 [14] 和 [18] 中的结果。
• 基于正交拉丁方的递归构造实现 $T(n) \geq f(r+1) \cdot T(n/(r+1))$ 个满足所需交集性质的划分。
• 当 $r+1 = q = p^m$ 时，构造结果与已知基于关联结构的码一致，但码率高于 [1] 中的构造。
• 第二种基于线性函数 $f_i(\mathbf{x}) = A_i\mathbf{x}$ 的二元构造，可实现 $n = q^{n_1}$，$r+1 = q^{n_1 - m_1}$，在某些情况下（如 $m_1=1, n_1=2$）码率超过 $\frac{r}{r+t}$。