[论文解读] Branching rules for ramified principal series representations of GL(3) over a p-adic field

Peter S. Campbell, Monica Nevins|ArXiv.org|Oct 17, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过将限制到极大紧致子群 K = GL(3, R) 上的限制分解，建立了 p-进域上 GL(3) 的分歧主系由表示的分支规则。利用 Iwahori 子群的滤子结构并分析双陪集 C_c \backslash K / C_d，作者确定了相互作用算子并刻画了不可约性，揭示出分解依赖于诱导特征的分歧度，且当相互作用算子数量随 q 呈多项式增长时出现可约性。

ABSTRACT

We decompose the restriction of ramified principal series representations of the $p$-adic group $\mathrm{GL}(3,\mathrm{k})$ to its maximal compact subgroup $K=\mathrm{GL}(3,\mathscr{R})$. Its decomposition is dependent on the degree of ramification of the inducing characters and can be characterized in terms of filtrations of the Iwahori subgroup in $K$. We establish several irreducibility results and illustrate the decomposition with some examples.

研究动机与目标

• 理解 GL(3, k) 的分歧主系由表示在限制到极大紧致子群 K = GL(3, R) 时的分解方式。
• 刻画分解对诱导特征分歧度的依赖关系。
• 确定限制表示的构成部分不可约的条件。
• 通过紧致开子群建立 p-进群表示理论与有限局部环上李群表示理论之间的联系。
• 提供显式例子，说明分解结构及相互作用算子的作用。

提出的方法

• 作者分析主系由表示 φ = Ind_B^K χ 对极大紧致子群 K = GL(3, R) 的限制，其中 χ 是对角子群 T 上的特征。
• 他们利用 K 内 Iwahori 子群的滤子结构，对支持相互作用算子的双陪集 C_c \backslash K / C_d 进行分类。
• 关键技术工具是通过推论 2.3 计算商表示 V_c 与 V_d 之间相互作用算子的数量，该数量与双陪集空间的大小相关。
• 通过滤子定义的子模 U_c 的结构研究分解，其中 V_c = U_c / U_{c+1}。
• 通过相互作用算子的增长率分析不可约性：线性增长意味着不可约，而多项式增长则表明可约。
• 通过选择特定特征（M=1, N=2）构造显式例子，利用图表和维数表可视化分解结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 GL(3, k) 的分歧主系由表示在限制到 K = GL(3, R) 时，其分解为不可约构成部分的方式如何依赖于诱导特征的分歧度？
• RQ2 哪些双陪集 C_c \backslash K / C_d 在限制表示中支持非平凡的相互作用算子？
• RQ3 在何种条件下商表示 V_c 是不可约的？当相互作用算子数量呈多项式增长时，可约性如何产生？
• RQ4 对于不同的三元组 c ≠ d，V_c 和 V_d 中是否可能出现同构的不可约分量？若可能，其索引需满足何种约束？
• RQ5 滤子中每个商表示 V_c 的精确维数是多少？其如何随诱导特征的参数变化？

主要发现

• 限制表示的分解关键取决于诱导特征的分歧度，不同分歧水平下表现出显著不同的行为。
• V_c 的不可约性由相互作用算子的增长率决定：若其数量随 c_3 线性增长，则 V_c 不可约；否则可能可约。
• 当 M=1 且 N=2 时，推测表示 V_{(2,3,4)} 分解为 q−2 个不同的不可约表示，每个维数为 q^4(q−1)(q−2)α。
• 商表示 V_{(1,4,4)} 的维数为 q^5(q−1)α，并包含一个与 V_{(2,3,4)} 的不可约分量同构的分量（图 5.2 中以 † 标记）。
• 同构的不可约表示仅在 c_3 = d_3 时可能出现在 V_c 和 V_d 中，否则 C_c 与 C_d 位于 K_n 滤子的不同层级，无法相互作用。
• 商表示 V_c 的维数已显式计算并列于表 5.2 中，其中 α = (q+1)(q^2+q+1)，表明 V_c 的维数是关于 q 的多项式。