[论文解读] Breaking the All Subsets Barrier for Min k-Cut

Anupam Gupta, Euiwoong Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 33被引用 6

一句话总结

本文提出了一种随机化算法，可在 O(n^{1.981k}) 时间内枚举所有最小 k-割，打破了由 Karger 和 Stein 建立的长期存在的 O(n^{(2−o(1))k}) 边界。通过结合 Karger-Stein 的收缩技术与 Thorup 的树打包方法，并引入关于双 VC 维有界集合系统的新型极值集合论界，作者在最小 k-割问题的算法与极值界方面均实现了首次突破。

ABSTRACT

Given an edge-weighted graph, how many minimum $k$-cuts can it have? This is a fundamental question in the intersection of algorithms, extremal combinatorics, and graph theory. It is particularly interesting in that the best known bounds are algorithmic: they stem from algorithms that compute the minimum $k$-cut. In 1994, Karger and Stein obtained a randomized contraction algorithm that finds a minimum $k$-cut in $O(n^{(2-o(1))k})$ time. It can also enumerate all such $k$-cuts in the same running time, establishing a corresponding extremal bound of $O(n^{(2-o(1))k})$. Since then, the algorithmic side of the minimum $k$-cut problem has seen much progress, leading to a deterministic algorithm based on a tree packing result of Thorup, which enumerates all minimum $k$-cuts in the same asymptotic running time, and gives an alternate proof of the $O(n^{(2-o(1))k})$ bound. However, beating the Karger--Stein bound, even for computing a single minimum $k$-cut, has remained out of reach. In this paper, we give an algorithm to enumerate all minimum $k$-cuts in $O(n^{(1.981+o(1))k})$ time, breaking the algorithmic and extremal barriers for enumerating minimum $k$-cuts. To obtain our result, we combine ideas from both the Karger--Stein and Thorup results, and draw a novel connection between minimum $k$-cut and extremal set theory. In particular, we give and use tighter bounds on the size of set systems with bounded dual VC-dimension, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 打破枚举最小 k-割的 O(n^{(2−o(1))k}) 算法与极值界。
• 开发一种更快的算法，用于枚举边权图中的所有最小 k-割。
• 通过与极值集合论的新联系，建立更紧致的最小 k-割数量极值界。
• 克服先前依赖矩阵乘法或无法高效枚举所有 k-割的算法局限。

提出的方法

• 结合 Karger-Stein 的随机收缩过程与 Thorup 的确定性树打包方法。
• 基于有界双 VC 维构造新型集合系统，以控制候选组件的数量。
• 采用分支策略，从精心构造的候选子集集合中猜测 k-割的一个分量。
• 使用修改后的 Karger-Stein 过程，以高概率采样边界较小的子集。
• 应用极值集合论结果，包括 7/8-表示引理与 1-表示引理，以界定候选集合的大小。
• 利用扩展引理与第二结构引理，推导出有界破碎性的范围空间的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否打破枚举最小 k-割的 O(n^{(2−o(1))k}) 边界？
• RQ2 图中最小 k-割的真实极值数量是多少——其规模是 n^k、n^{2k}，还是介于两者之间？
• RQ3 结合收缩与树打包技术的混合算法能否优于单独使用任一方法？
• RQ4 极值集合论能否为与 k-割相关的低边界子集数量提供更紧致的界？
• RQ5 是否存在一种方法，可在不依赖矩阵乘法的前提下，以 k 的次二次指数时间枚举所有最小 k-割？

主要发现

• 本文提出一种随机化算法，可在 O(n^{1.981k}) 时间内枚举所有最小 k-割，优于先前的 O(n^{(2−o(1))k}) 边界。
• 任何图中最小 k-割的极值数量至多为 O(n^{1.981k})，首次在 Karger-Stein 极值界基础上实现改进。
• 该算法采用混合方法，结合 Karger-Stein 收缩与 Thorup 的树打包，实现高效的候选集生成。
• 作者推导出新的极值集合论界，包括 7/8-表示引理与 1-表示引理，这些界对控制候选组件集合的大小至关重要。
• 该方法避免依赖快速矩阵乘法，因此保持多项式空间复杂度，可实现完整枚举，与先前基于矩阵的方法不同。
• 结果表明，最小 k-割的数量远小于此前预期，指数部分已从 2 降低至 1.981。