[论文解读] BRST cohomology of Yang-Mills gauge fields in the presence of gravity in Ashtekar variables

O. Moritsch, M. Schweda+3 more|ArXiv.org|Sep 14, 1994

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文利用阿什台卡尔变量，通过莫泽-卡特水平条件构造BRST变换，推导了与引力耦合的杨-米尔斯规范场的BRST上同调。通过引入一个简化代数（包含BRST算子、微分d和一个新定义的δ算子），识别出杨-米尔斯拉格朗日量、陈-西蒙斯项和规范反常，得到的上同调结构比纯杨-米尔斯理论更易处理。

ABSTRACT

The BRST transformations for the Yang-Mills gauge fields in the presence of gravity described by Ashtekar variables are obtained by using the so-called Maurer-Cartan horizontality conditions. The BRST cohomology group expressed by the Wess-Zumino consistency condition is solved with the help of an operator $δ$ introduced by S.P. Sorella which in our case has a very simple form and generates, together with the differential $d$ and the BRST operator $s$, a simpler algebra than in the pure Yang-Mills theory. In this way we shall find the Yang-Mills Lagrangians, the Chern-Simons terms and the gauge anomalies.

研究动机与目标

• 将BRST上同调推广至阿什台卡尔形式下的与引力耦合的杨-米尔斯规范场。
• 在首阶形式中，利用莫泽-卡特水平条件推导杨-米尔斯场的BRST变换。
• 通过引入一个与d和s对易的δ算子，简化BRST上同调结构。
• 在上同调中识别出物理可观测量，如杨-米尔斯拉格朗日量、陈-西蒙斯项和规范反常。

提出的方法

• 利用莫泽-卡特水平条件，在阿什台卡尔变量下推导引力存在时杨-米尔斯场的BRST变换。
• 引入受S.P. 索雷拉启发的δ算子，通过与d和s构成封闭代数，简化BRST代数。
• 利用威斯-祖米诺一致性条件构建BRST上同调，以确保反常自由。
• 将扩展代数（d, s, δ）应用于分类耦合杨-米尔斯-引力系统中的规范不变量与反常。
• 在首阶形式中工作，将自旋连接和三重纽结视为独立变量。
• 通过利用d、s和δ的幂零性与反对易关系，求解上同调问题，提取物理项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在阿什台卡尔变量下一致地表述与引力耦合的杨-米尔斯场的BRST上同调？
• RQ2 与标准杨-米尔斯理论相比，δ算子在简化BRST上同调代数结构中起什么作用？
• RQ3 哪些项——如杨-米尔斯拉格朗日量、陈-西蒙斯项或反常——自然地从上同调结构中出现？
• RQ4 莫泽-卡特水平条件如何约束此耦合系统中的BRST变换？
• RQ5 能否通过扩展代数（d, s, δ）使上同调分类更加系统化？

主要发现

• BRST上同调将标准杨-米尔斯拉格朗日量作为上同调类中物理可观测量的代表。
• 陈-西蒙斯项自然地作为BRST上同调的元素出现，尤其在奇数维时空下。
• 规范反常被识别为上同调中的非平凡元素，满足威斯-祖米诺一致性条件。
• 引入δ算子后，其代数结构比纯杨-米尔斯理论更简单，有利于上同调分类。
• 该形式成功通过阿什台卡尔变量引入引力，实现了对微分同胚对称性和规范对称性的协调处理。
• 该方法提供了一个系统框架，可从BRST上同调中推导出所有规范不变项与反常项。