[论文解读] BSDEs with time-delayed generators of a moving average type with applications to non-monotone preferences

Łukasz Delong|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2010

Stochastic processes and financial applications被引用 1

一句话总结

本文引入了具有移动平均型时变延迟生成器的倒向随机微分方程（BSDEs），其中生成器依赖于解及其扩散分量的过去值的时间平均。作者推导出显式解，并证明此类方程可刻画非单调偏好，捕捉到失望效应与波动率厌恶——这些是经典马尔可夫型BSDE中所缺失的关键行为特征——从而实现对过去波动率和未实现期望进行惩罚的动态估值规则。

ABSTRACT

In this paper we consider backward stochastic differential equations with time-delayed generators of a moving average type. The classical framework with linear generators depending on $(Y(t),Z(t))$ is extended and we investigate linear generators depending on $(\frac{1}{t}\int_0^tY(s)ds, \frac{1}{t}\int_0^tZ(s)ds)$. We derive explicit solutions to the corresponding time-delayed BSDEs and we investigate in detail main properties of the solutions. An economic motivation for dealing with the BSDEs with the time-delayed generators of the moving average type is given. We argue that such equations may arise when we face the problem of dynamic modelling of non-monotone preferences. We model a disappointment effect under which the present pay-off is compared with the past expectations and a volatility aversion which causes the present pay-off to be penalized by the past exposures to the volatility risk.

研究动机与目标

• 本文旨在将经典BSDE扩展至纳入投资者偏好的记忆效应。
• 解决马尔可夫型生成器忽略历史表现与期望的局限性。
• 目标是刻画非单调偏好（如失望与波动率厌恶），而经典BSDE无法捕捉此类行为。
• 作者旨在提供与行为金融学洞见一致的动态估值框架。
• 他们旨在为具有移动平均型生成器的时滞BSDE推导显式解。

提出的方法

• 本文构建了生成器依赖于[0,t]区间内Y(s)与Z(s)的移动平均的BSDE，即(1/t)∫₀ᵗ Y(s)ds与(1/t)∫₀ᵗ Z(s)ds。
• 利用第一类与第二类修正贝塞尔函数，推导出显式闭式解。
• 解法涉及将时滞BSDE转化为常微分方程组。
• 作者利用修正贝塞尔函数的性质求解所得ODE，并建立解的存在性与唯一性。
• 通过求解两个不同的BSDE（一个刻画失望，另一个刻画波动率厌恶）推导出动态估值规则。
• 估值规则通过时间平均期望与过去波动率惩罚表示，显式表达式包含二次变差与随机积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有移动平均型时滞生成器的BSDE能否刻画非单调投资者偏好？
• RQ2 过去期望与过去波动率暴露如何影响当前估值与效用？
• RQ3 此类BSDE能否捕捉到临时消费增加导致长期效用下降的失望效应？
• RQ4 过去波动率在多大程度上惩罚当前估值？这与经典BSDE有何不同？
• RQ5 具有移动平均生成器的时滞BSDE会涌现出何种显式解结构？

主要发现

• 本文利用修正贝塞尔函数，推导出具有移动平均型生成器的时滞BSDE的显式解。
• 解表现出非单调行为：终端收益ξ的短期增加不一定会提高当前价格ρt，与非单调偏好一致。
• 估值规则ρt,T(ξ) = ẼQ[ξ|Ft] − β ln(T/t) ∫₀ᵗ Z(s)ds 对过去波动率进行惩罚，若过去波动率较高且收益下降，则可能导致负值。
• 动态估值规则ρt,T(ξ) = ˜V(t) − β ln(T/t) ∫₀ᵗ Z(s)ds 表明，当前估值因累积过去波动率而降低，从而刻画风险厌恶。
• 表示式dRt(s) = d˜V(s) − β ln(T/t)/s d[˜V,˜V](s)/ds ds 表明，价格根据预期收益变化的夏普比率进行调整。
• 该模型捕捉了失望效应：高期望后接不良结果会导致负估值，与Loomes & Sugden及Dybvig & Rogers的理论一致。