[论文解读] Calibrating Multivariate Lévy Processes with Neural Networks

Kailai Xu, Eric Darve|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Probability and Risk Models参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于神经网络的非参数方法，用于校准多变量 Lévy 过程，通过使用深度神经网络近似 Lévy 密度，利用数值积分估计特征函数，并最小化经验特征函数与模型特征函数之间的差异。该方法在捕捉尖锐跃迁和处理噪声方面优于分段线性和径向基函数，尤其在高维、不连续的 Lévy 密度估计中表现更优。

ABSTRACT

Calibrating a Lévy process usually requires characterizing its jump distribution. Traditionally this problem can be solved with nonparametric estimation using the empirical characteristic functions (ECF), assuming certain regularity, and results to date are mostly in 1D. For multivariate Lévy processes and less smooth Lévy densities, the problem becomes challenging as ECFs decay slowly and have large uncertainty because of limited observations. We solve this problem by approximating the Lévy density with a parametrized functional form; the characteristic function is then estimated using numerical integration. In our benchmarks, we used deep neural networks and found that they are robust and can capture sharp transitions in the Lévy density. They perform favorably compared to piecewise linear functions and radial basis functions. The methods and techniques developed here apply to many other problems that involve nonparametric estimation of functions embedded in a system model.

研究动机与目标

• 解决多变量 Lévy 过程在不连续且噪声较大的 Lévy 密度下进行非参数校准的挑战。
• 克服在高维空间和非光滑密度下经验特征函数去卷积方法的局限性。
• 评估在低频观测条件下，神经网络、分段线性函数和径向基函数在近似 Lévy 密度方面的性能表现。
• 开发一种稳健的、基于梯度的优化框架，使模型特征函数与经验特征函数相匹配。

提出的方法

• 使用参数化函数形式 νθ(x) 近似 Lévy 密度 ν(x)，其中神经网络为主要候选方法。
• 通过在一组节点和权重上进行数值求积，利用 Lévy-Khintchine 表示法估计特征函数 φθ(ξ)。
• 从增量过程的离散、等距观测中计算经验特征函数 ˆφn(ξ)。
• 构建最小化问题：在配点 ξi 上，通过基于梯度的优化方法最小化 ˆφn(ξi) 与 φθ(ξi) 之间的均方误差。
• 由于其通用逼近能力、对噪声的鲁棒性以及捕捉不连续性的能力，选择深度神经网络作为函数形式。
• 将该方法应用于合成的 2D Lévy 过程和真实的股票市场对数收益数据，以验证性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 深度神经网络是否能在传统方法失效的高维、不连续 Lévy 密度中有效近似？
• RQ2 在噪声和数据有限的条件下，神经网络在非参数 Lévy 密度估计中相较于分段线性函数和径向基函数的性能如何？
• RQ3 所提出的方法在捕捉 Lévy 密度中尖锐跃迁（尤其是不连续点附近）方面的能力有多强？
• RQ4 当经验特征函数因样本量有限而存在噪声时，该方法是否仍保持鲁棒性？
• RQ5 该框架能否成功应用于真实金融数据，以检测多变量资产收益中的跳跃动态？

主要发现

• 神经网络在捕捉 Lévy 密度中的尖锐跃迁方面优于分段线性函数和径向基函数，尤其在如二维截断正态分布等不连续情形下表现更优。
• 对于二维截断正态 Lévy 密度，神经网络能准确恢复轴上的尖锐边界，而分段线性函数产生伪影，径向基函数则对不连续性产生平滑效应。
• 在 1000 个观测值下，神经网络即使在高噪声条件下仍保持稳健性能，而径向基函数和分段线性函数的性能显著下降。
• 在真实股票市场应用中，成对 α 指数范围为 1.1 至 1.5，表明对数收益中存在跳跃，且校准后的 Γθ(s) 揭示了四个主要跳跃方向。
• 该方法成功识别出 EOG 与 MSFT 收益之间的方向性跳跃趋势，校准后的 Γθ(s) 函数呈现四个显著峰值，证实了模型检测结构化跳跃动态的能力。