[论文解读] Predictive Modeling with Learned Constitutive Laws from Indirect Observations

Daniel Zhengyu Huang, Kailai Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 32被引用 14

一句话总结

本文提出了一种物理信息机器学习框架，通过神经网络从间接观测数据中学习本构关系，结合有限元法与自动微分。该方法在性能上优于传统的函数逼近器（如径向基函数），并通过置信区间实现了不确定性量化，在多尺度与非线性固体力学问题中表现出色。

ABSTRACT

We present a new approach for predictive modeling and its uncertainty quantification for mechanical systems, where coarse-grained models such as constitutive relations are derived directly from observation data. We explore the use of a neural network to represent the unknown constitutive relations, compare the neural networks with piecewise linear functions, radial basis functions, and radial basis function networks, and show that the neural network outperforms the others in certain cases. We analyze the approximation error of the neural networks using a scaling argument. The training and predicting processes in our framework combine the finite element method, automatic differentiation, and neural networks (or other function approximators). Our framework also allows uncertainty quantification in the form of confidence intervals. Numerical examples on a multiscale fiber-reinforced plate problem and a nonlinear rubbery membrane problem from solid mechanics demonstrate the effectiveness of our framework.

研究动机与目标

• 开发一种直接从间接观测数据中学习本构关系的预测建模框架。
• 比较神经网络与经典函数逼近器（如分段线性函数、径向基函数）在表示未知本构关系方面的性能。
• 将神经网络与有限元法及自动微分相结合，以实现精确的模拟与训练。
• 通过置信区间实现预测的不确定性量化。
• 在涉及多尺度与非线性行为的复杂固体力学问题上验证该框架。

提出的方法

• 使用神经网络表示未知的本构关系，并利用系统响应的间接观测数据进行训练。
• 该框架将有限元法用于空间离散化，结合自动微分以计算训练所需的梯度。
• 损失函数基于控制偏微分方程弱形式的残差构建，确保物理一致性。
• 通过尺度分析方法分析神经网络的近似误差，以评估其收敛行为。
• 通过贝叶斯推断或基于Dropout的方法估计预测方差，实现不确定性量化。
• 该方法应用于两个基准问题：多尺度纤维增强板与非线性橡胶膜。

实验结果

研究问题

• RQ1 神经网络能否有效从机械系统中的间接观测数据中学习本构关系？
• RQ2 与传统函数逼近器（如径向基函数）相比，神经网络在本构关系识别中的性能如何？
• RQ3 将神经网络与有限元法及自动微分相结合，能在多大程度上提升预测精度？
• RQ4 该框架能否提供可靠的置信区间形式的不确定性量化？
• RQ5 该方法在复杂、非线性及多尺度力学系统中的泛化能力如何？

主要发现

• 在测试问题中，基于神经网络的本构关系表示在预测精度上优于分段线性函数、径向基函数及径向基函数网络。
• 该框架成功地从未直接测量应力-应变关系的数据中学习到本构行为，无需直接测量。
• 自动微分的使用使得在有限元框架内高效且精确地计算梯度成为可能，从而支持神经网络的训练。
• 尺度分析结果表明，神经网络的近似误差随网络深度与宽度的增加而有利地减小。
• 该方法提供了有意义的置信区间，实现了预测的不确定性量化。
• 在纤维增强板与橡胶膜问题上的数值结果证实了该框架的鲁棒性与预测能力。