[论文解读] Cartesian Double Categories with an Emphasis on Characterizing Spans

Evangelia Aleiferi|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2018

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文引入了笛卡尔双范畴作为笛卡尔双范畴的推广，提供了一个更严格的2-范畴框架，简化了双范畴设定中出现的技术问题。它将态射双范畴表征为笛卡尔双范畴，并为类似地表征广义态射奠定了基础，表明态射上的模理论可自然地推广到此设定中。

ABSTRACT

In this thesis, we introduce Cartesian double categories, motivated by the work of Carboni, Kelly, Walters, and Wood on Cartesian bicategories. Moving from bicategories to the slightly more generalized notion of double categories allows us to set the whole theory inside the welcoming 2-category of double categories, and to overcome technical problems that were caused by working with left adjoints inside a general bicategory. Cartesian double categories that are also fibrant are of particular interest to us. After describing some important properties of Cartesian and fibrant double categories, we give a characterization of the double category of Spans as a Cartesian double category. Lastly, we talk about profunctors and give a potential framework for their characterization as Cartesian double categories.

研究动机与目标

• 通过从双范畴转向双范畴，发展一种更结构化且技术上更易处理的笛卡尔范畴框架。
• 通过利用双范畴的严格2-范畴结构，克服双范畴设定中的技术障碍，特别是涉及左伴随和伪函子的问题。
• 对态射双范畴作为笛卡尔双范畴进行表征，推广早期的双范畴结果。
• 为将广义态射表征为笛卡尔双范畴奠定基础，扩展态射上模的理论。
• 探索笛卡尔双范畴作为高维范畴论基础结构的潜力，包括经典笛卡尔范畴性质（如带有对角线和单位映射的对称张量结构）的推广。

提出的方法

• 通过双范畴与其乘积（对角线和终端函子）之间的伴随关系定义笛卡尔双范畴，利用 DblCat 的严格2-范畴结构。
• 引入纤维化双范畴，以确保与笛卡尔结构所需的普遍性质相容。
• 在双范畴的背景下应用格罗滕迪克构造，将水平双范畴与底层范畴联系起来。
• 应用艾伦伯格-莫尔对象和表格化子，分析和构造双范畴中的普遍性质。
• 通过函子 C: Span(D₀) → D 满足贝克-谢瓦利条件，对态射进行表征，建立态射双范畴的普遍性质。
• 通过证明若 D 是笛卡尔双范畴，则 Mod(D) 也是笛卡尔双范畴，扩展模与广义态射的理论，从而将 Prof(E) 表征为笛卡尔双范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将笛卡尔双范畴推广为双范畴，以简化与伪函子和左伴随相关的技术挑战？
• RQ2 在笛卡尔双范畴框架下，哪些普遍性质表征了双范畴中的态射双范畴？
• RQ3 能否将有限完备范畴上的广义态射双范畴表征为笛卡尔双范畴？
• RQ4 在何种条件下，笛卡尔双范畴上模的双范畴保持为笛卡尔双范畴？
• RQ5 经典笛卡尔范畴性质（如带有对角线和单位映射的对称张量结构）在双范畴设定中能在多大程度上被推广？

主要发现

• 在具有有限积的范畴上，态射双范畴是笛卡尔双范畴，通过构造一个满足贝克-谢瓦利条件的函子 C: Span(D₀) → D 得到证明。
• 纤维化笛卡尔双范畴为提升普遍性质提供了自然设定，确保了垂直结构与水平结构之间的相容性。
• 在基范畴或张量范畴具有适当结构时，Prof(E) 或 V-Mat 中的‘良好’映射的全子双范畴（类比于双范畴中的左伴随）具有有限积。
• 若 D 是笛卡尔双范畴，则 D 上的模双范畴 Mod(D) 也是笛卡尔双范畴，将双范畴结果推广到了双范畴设定。
• 笛卡尔双范畴理论通过在严格2-范畴 DblCat 中工作，避免了双范畴中乘积的技术复杂性，使得伴随关系和乘积可更直接地控制。
• 该框架使得广义态射作为笛卡尔双范畴的表征更加清晰，提示了在该设定中对 Prof(E) 实现完整表征的路径。