[论文解读] A double-dimensional approach to formal category theory

Seerp Roald Koudenburg|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 6

一句话总结

本文引入了增强型虚拟双范畴框架，以形式化形式范畴论，特别是将Yoneda引理由经典情形推广至如张量范畴等代数结构情境。在适当条件下，该框架证明了从预层范畴到T-代数的Yoneda嵌入可被提升，并证明由此产生的预层范畴即为代数设定下的自由小共完备化，从而恢复了Day卷积与Im-Kelly关于自由张量共完备化的结果。

ABSTRACT

Whereas formal category theory is classically considered within a $2$-category, in this paper a double-dimensional approach is taken. More precisely we develop such theory within the setting of augmented virtual double categories, a notion extending that of virtual double category by adding cells with nullary target. [...] After this the notion of `weak' Kan extension within an augmented virtual double category is considered, together with three strengthenings. [...] The notion of yoneda embedding is then considered in an augmented virtual double category, and compared to that of a good yoneda structure on a $2$-category; the latter in the sense of Street-Walters and Weber. Conditions are given ensuring that a yoneda embedding $y \colon A o \hat A$ defines $\hat A$ as the free small cocompletion of $A$, in a suitable sense. In the second half we consider formal category theory in the presence of algebraic structures. In detail: to a monad $T$ on an augmented virtual double category $\mathcal K$ several augmented virtual double categories $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)}$ of $T$-algebras are associated, [...]. This is followed by the study of the creation of, amongst others, left Kan extensions by the forgetful functors $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)} o \mathcal K$. The main motivation of this paper is the description of conditions ensuring that yoneda embeddings in $\mathcal K$ lift along these forgetful functors, as well as ensuring that such lifted algebraic yoneda embeddings again define free small cocompletions, now in $T ext-\mathsf{Alg}_{(v, w)}$. As a first example we apply the previous to monoidal structures on categories, hence recovering Day convolution of presheaves and Im-Kelly's result on free monoidal cocompletion, as well as obtaining a "monoidal Yoneda lemma".

研究动机与目标

• 将经典的Yoneda引理由经典范畴推广至具有代数结构（如张量范畴）的设定。
• 通过处理严格张量函子与广义函子的双范畴框架，形式化张量Yoneda引理。
• 刻画Yoneda嵌入至预层范畴沿从T-代数到基范畴的遗忘函子的提升条件。
• 证明提升后的Yoneda嵌入在T-代数范畴中定义了自由小共完备化。
• 恢复并推广经典结果，如Day卷积与Im-Kelly关于自由张量共完备化的定理。

提出的方法

• 本文发展了增强型虚拟双范畴的理论，该理论通过允许零元目标细胞扩展了虚拟双范畴。
• 在该框架内引入了三种弱Kan扩张的概念——推广了Borceux-Kelly、Street的逐点扩张，以及一种综合概念。
• 在增强型虚拟双范畴中定义了良好的Yoneda结构，并刻画了Yoneda嵌入何时诱导出自由小共完备化。
• 为增强型虚拟双范畴上的一个模态T构造T-代数，形成具有指定一致类型的一类T-代数范畴T-Alg(v,w)。
• 证明了函子T-Alg(v,w) →K创建Kan扩张，且在适当条件下，Yoneda嵌入可沿这些函子被提升。
• 将该框架应用于张量范畴，证明Day卷积自然出现，且(bA, b⊗)是(A, ⊗)的自由张量共完备化。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Yoneda引理由经典范畴推广至具有代数结构（如张量范畴）的设定？
• RQ2 在何种条件下，Yoneda嵌入至预层范畴可被提升至模态T的T-代数范畴？
• RQ3 在T-Alg(v,w)中，提升后的Yoneda嵌入何时仍定义为自由小共完备化？
• RQ4 在代数设定下，严格张量广义函子与由Yoneda嵌入诱导的严格张量函子之间存在何种关系？
• RQ5 如何利用增强型虚拟双范畴中的Kan扩张理论恢复经典结果（如Day卷积）？”

主要发现

• 当基范畴K满足适当条件时，Yoneda嵌入y: A → bA可被提升为T-Alg(c,l)与T-Alg(c,ps,lbc)中的Yoneda嵌入。
• 在T-Alg(c,l)中，提升后的Yoneda嵌入将bA定义为A关于理想S(c,l)的自由S(c,l)-共完备化，其中S(c,l)为左扩张图的理想。
• 该结论在T-Alg(c,ps,lbc)中同样成立，表明自由共完备化在代数结构下保持不变。
• 本文建立了张量Yoneda引理：对任意严格张量广义函子J，诱导函子J^λ为严格张量函子，且满足bA(y–, J^λ–) ≅ J作为严格张量广义函子。
• 该构造自然地恢复了Day卷积，即由Yoneda嵌入诱导的bA上的张量结构。
• 对任意小V-共完备的V-张量范畴N，存在自然同构MonCat(l,cocts)(bM, N) ≃ MonCatl(M, N)，从而恢复了[IK86]中的定理5.1。