[论文解读] Categories in control: applied PROPs

Jason Erbele|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2016

Formal Methods in Verification参考文献 18被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于PROPs（乘积范畴）的控制理论范畴框架，通过信号流图对线性时不变系统进行建模。它提出了一个关于PROP FinRelk——在R(s)上的有限维向量空间与线性关系及直和构成的范畴——的表述，该范畴作为对称单峰范畴，由基本操作（加法、标量乘法、微分、反馈）生成，并满足代数关系。其主要贡献是通过新PROP Statefulk形式化了一套用于可控制性与可观测性的图形演算，该PROP捕捉了状态空间动力学，使得能够使用弦图对系统属性进行可视化推理。

ABSTRACT

Control theory uses `signal-flow diagrams' to describe processes where real-valued functions of time are added, multiplied by scalars, differentiated and integrated, duplicated and deleted. These diagrams can be seen as string diagrams for the PROP FinRel_k, the strict version of the category of finite-dimensional vector spaces over the field of rational functions k = R(s) and linear relations, where the variable s acts as differentiation and the monoidal structure is direct sum rather than the usual tensor product of vector spaces. Control processes are also described by controllability and observability---whether the input can drive the process to any state, and whether any state can be determined from later outputs. For any field k we give a presentation of FinRel_k in terms of generators of the free PROP of signal-flow diagrams together with the equations that give FinRel_k its structure. The `cap' and `cup' generators, missing when the morphisms are linear maps, make it possible to model feedback. The relations say, among other things, that the 1-dimensional vector space k has two special commutative dagger-Frobenius structures, such that the multiplication and unit of either one and the comultiplication and counit of the other fit together to form a bimonoid. This sort of structure, but with tensor product replacing direct sum, is familiar from the `ZX-calculus' obeyed by a finite-dimensional Hilbert space with two mutually unbiased bases. In order to address controllability and observability, we construct the PROP Stateful_k and relate it back to the PROP of signal-flow diagrams. This provides a way to graphically express controllability and observability for linear time-invariant processes.

研究动机与目标

• 通过范畴论，特别是PROPs，形式化控制系统，以提供线性时不变系统统一的代数与图形语言。
• 将FinRelk——在R(s)上的有限维向量空间与线性关系及直和构成的范畴——表述为由信号流图操作生成的PROP。
• 定义并构建PROP Statefulk，以对状态空间表示进行建模，并在范畴设定下正式捕捉可控制性与可观测性。
• 在图形化信号流图与经典控制理论概念之间建立桥梁，实现对系统行为的可视化与代数推理。
• 为将该框架扩展至更一般系统（包括状态转移矩阵中存在线性关系的系统）奠定基础。

提出的方法

• 使用PROPs对控制系统进行建模，其中态射表示信号流过程，单峰结构由直和给出。
• 通过生成元（加法、标量乘法、微分、复制、删除）和关系（包括Frobenius律与双monoid律）对FinRelk进行表述，以捕捉R(s)上线性关系的代数结构。
• 引入“cap”和“cup”生成元以对反馈进行建模，从而在PROP框架内表示闭环系统。
• 通过“Box”构造法构建PROP Statefulk，将状态变量内化于信号流图之中。
• 在Statefulk中以态射的形式定义可控制性与可观测性，使用可达性与状态可区分性等图形化标准。
• 使用“StFlowk-标准型”分析信号流图，并将其与状态空间实现关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 控制理论中的信号流图如何被正式捕捉为对称单峰范畴中的态射？
• RQ2 控制FinRelk——R(s)上有限维线性关系的PROP——的代数关系是什么？
• RQ3 如何使用生成元与关系在PROP中范畴化地建模反馈、复制与删除？
• RQ4 如何在PROP中使用图形化推理来表达与验证可控制性与可观测性？
• RQ5 该框架能否扩展至处理状态转移矩阵中存在线性关系的系统（而不仅限于线性映射）？

主要发现

• FinRelk以基本控制操作的生成元及关系呈现，其中包含两个可交换的†-Frobenius结构，构成双monoid，推广了ZX演算中所见的结构。
• 引入“cap”和“cup”生成元使得反馈得以建模，从而在PROP框架内表示闭环系统。
• Statefulk的构造提供了状态空间系统的范畴模型，使得可控制性与可观测性可被表达为信号流图的图形性质。
• 可控制性被表征为：通过一系列操作，可从输入到达任意状态；可观测性则被表征为：能从输出推断出状态。
• 本文指出了将框架推广至处理状态空间关系（而不仅限于映射）的路径，建议可通过新PROP CtrlFlowk建模更广泛的系统类别。
• 提出一个猜想：信号流图的StFlowk-标准型可用于系统性地提取线性关系A(f)、B(f)、C(f)与D(f)，提供一种比经验方法更系统化的方法。